函数是数学中描述变量间依赖关系的核心概念，其本质是定义域与值域之间遵循特定对应法则的映射关系。从历史发展来看，函数概念经历了从直观描述到集合论严密定义的演进过程，其内涵不断深化与扩展。

16世纪，资本主义开始发展并兴盛起来，机械与大工业逐步替代了家庭小作坊的手工业，实践的需求使得自然科学开始研究运动的规律，对数学提出了新的要求。

在这样的背景下，17世纪，数学家建立起了“函数”的概念。1637年，法国数学家、物理学家、哲学家勒内·笛卡尔（René Descartes,1596-1650）提出了“变量”的概念，发现了变量之间的依赖关系，为函数概念的出现奠定了基础。1673年，德国数学家、哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm vonLeibniz, 1646-1716）首次使用了“function”一词，并在之后广泛地用于表示一个变量随另一个变量变化的关系。

1734年，瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）引入了符号；1748年，他将函数定义为“由变量和一些数以任何方式构成的解析表达式”，并展开了各种形式的函数的研究；1755年，他将函数关系定义为“依赖关系”。

1807年，法国数学家、物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830）在《热的分析理论》中表示，任意函数可以用一个式子或几个式子，或是曲线来表示。

1821年，法国数学家奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789-1857）首次给出了“自变量”的概念，并且指出函数不一定有解析表达式，但仍认为函数关系可以用多个式子来表达。

1837年，德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859）突破了解析表达式的局限，用“对应关系”来表达函数关系，避免了对于“如何建立变量间关系”的讨论，为19世纪的数学家所广泛接受。

1851年，德国数学家、物理学家波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866）也通过“唯一对应”的方式给出了类似的定义。

数学中专门研究函数的领域叫作“分析学”。从17世纪开始，函数概念的发展连同极限的概念，一起推动了微积分的发展，由此带动了分析学进一步发展和融入数学中的其他领域。18、19世纪的数学家为此做出了大量有意义的工作，也发展了微分方程、微分几何、复变函数等后续学科，衍生出了实变函数论、函数逼近论、微分方程定性理论、泛函分析等分支。

在大多情景中，函数指一元实值函数。其它类型的函数均以此为基础。

函数的定义通常分为下面三类：变量说，对应说（映射说），关系说。它们的本质相同，但各有各的特点和存在的理由。

一般地，设在一个变化过程中有两个变量和，如果随着的变化而变化，那么称是的函数。

“变量说”基于运动变化的观点，是函数的最原始定义。它把函数定义为“以特定规律依赖于一个变量的另一个变量”。该定义是对函数的整体宏观的把握，但具有明显的局限性：没有对变量提出明确的定义，没有说明因变量如何依赖自变量，例如：

在这个例子中，是一个常数，不会随着x的变化而改变其值，因而用“变量说”进行解释有一定困难。国内的初中教学一般使用该定义。

设两个非空集合，如果存在一个法则，对中的任意元素，按照法则，在中都存在唯一确定的与之对应，则称为从到的映射。特别地，当集合都是数集时，称为从到B的函数。

该定义强调了变量与函数的区别，即函数是两个非空数集之间的对应法则，而非变量。“对应说”是函数的近代定义，用抽象的“集合”概念替代了变量，大大推广了研究对象与应用范围。国内的高中及以上层次的教学一般使用该定义。

设f是一个序偶的集合，如果且时有，则称为一个函数。

该定义是完全数学化的现代定义，自20世纪60年代起被广泛采用。“关系说”只涉及到一个集合的概念，便于为计算机等接受，具有多方面的优越性。

对于从到的函数，按照函数的对应规则，对应，则记作。是自变量，是因变量。

其中，称作元素在映射f下的像，称作元素在映射下的原像。

所有可取到的自变量组成的集合称作该函数的定义域，定义域中所有元素的像的集合称作该函数的值域，记作；对于，而言，显然。

通过平面直角坐标系, 可以将一元函数转化为平面上的图形

对于连续函数, 图形通常是一条平面曲线; 对于分段连续函数, 图形可能由多条曲线段组成, 并可能有间断点。

使得两函数取值相等的自变量取值, 对应的两图象在对应点处相交。即方程的解对应图形交点。特别地, 的解是函数的零点, 对应图形和轴的交点。

表示函数的主要方法为以下三种：解析法、表格法、图形法。这三种方法在不同

资料中可能有不同的名称。

解析法是指用数学公式将函数关系表示出来。例如：

表格法是将部分函数值通过列表的方式给出；该方法只能给出有限的函数值。例如：

图形法是用函数的图象来表述函数关系；其优势在于直观。例如：

函数的特性是对数学模型的结构、关系以及规律的表达，是对函数本质特征的刻画，是进一步深入研究函数的重要途径。

设函数的定义域为,区间,对于区间上的任意两点,如果恒有,那么称函数在上是单调增加(或单调递增)的；如果恒有, 那么称函数在上是单调减少(或单调递减)的。单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。

如果去除上面定义中的等号，不等式仍成立。那么对应称之为“严格单调递增”或“严格单调递减”的函数。

一般来说，在单调增加的函数中，函数值随自变量的增大而增大；单调减少的函数中，函数值随自变量的增大而减小。

例如，函数在区间上是单调增加的，在区间上是单调减少的，在区间上不是单调的。

设函数的定义域关于原点对称，对于任意的,如果,那么称为偶函数；如果,那么称为奇函数。

偶函数的图象是关于轴对称的，奇函数的图象是关于原点中心对称的。

例如是偶函数，是奇函数。

设函数的定义域为。如果存在正数,使得对于任意的,有且, 那么称为周期函数，为其周期。

显然，如果一个函数以为周期，则其正整数倍均为函数的周期，故一个周期函数必定有无数个周期。

一些函数具有最小正周期，如三角函数以为最小正周期。但并不是所有周期函数都具有最小正周期，例如狄利克雷函数

以任意正有理数为周期。

函数的对称性一般指其图象的轴对称性或中心对称性。设函数的定义域为，常数。

如果对于任意的，有，且，那么函数图象关于直线轴对称；如果对于任意的，有，且，那么函数图象关于点中心对称；如果对于任意的，有，且，那么函数图象关于点中心对称。

函数的对称性和周期性关系紧密。如果函数图象同时具有两个不同的对称轴，或两个不同的对称中心，或一个对称轴与一个对称中心，那么该函数一定是周期函数；如果周期函数具有某种对称性，那么一定具有另外的同类型的对称关系。

设函数的定义域为,数集,如果存在数使得对于任意的,都有,那么称函数在上有上界，被称为函数在上的一个上界；如果存在数使得对于任意的,都有,那么称函数在上有下界，被称为函数在上的一个下界；如果存在正数,使得对于任意的,都有，那么称函数在上有界。

例如，函数在上满足,故有界；函数在上有下界1,但无上界。

若函数在一定范围内具有上界，那么任何大于该上界的数均为其上界。若函数在一定范围内具有下界，那么任何小于该下界的数均为其下界。

函数的连续性反映了当自变量的变化量很微小时，函数值的变化，也很微小的特征。

如果函数在某点处的极限值等于函数值，那么称函数在该点处连续。具体地，如果函数在点的邻域内有定义，且,那么称函数在处连续。

上述表述等价于下面的语言：对于任意的,存在,使得当时，有,那么称函数在处连续。

连续函数的图象是一条连续的而不间断的曲线。

导数用于衡量函数的变化率。如果下式右侧的极限存在，则称函数在处可导，并定义其在点处的导数为：

函数在某点处的导数即为图象在该点处的斜率。

一元函数的可导性与可微性等价，且蕴含了连续性。

函数导数的正负与函数的单调性有关。如果在区间上，对任意恒有,那么在上单调增加；对任意恒有, 那么在上单调减少。

函数的导数有广泛而重要的应用价值，可用于求函数的极值与最值，分析函数的单调性等。

函数的凸性衡量了函数图象中的弯曲方向。称一个函数是凸的或凹的，在不同的中文资料中并无统一的概念，两者的定义有时甚至是相反的。

中文资料中用“上凸”和“下凸”对该性质进行描述是统一的。下面的表述使用“上凸”和“下凸”。

对于函数在区间I上连续的，如果对于任意的，，满足

则称在上是下凸的；若对于，去掉上式中的等号仍然成立，则称之为“严格下凸”的。如果满足

则称在上是上凸的；若对于，去掉上式中的等号仍然成立，则称之为“严格上凸”的。

如果函数在上具有连续的二阶导数，那么时该函数下凸，时该函数上凸。该判断方法给出的是一个充分条件。

此外，对于函数的凸性，还有更多的等价定义；有时可以利用更高阶导数来判别函数的凸性。

如果函数的图象与一条直线在无穷远处无限地接近，那么称该直线为函数的渐进线。

对于函数和直线,如果

那么直线是该函数在无穷远处的渐近线。

对于直线方程为,即与轴平行的情形，如果

那么直线是该函数在无穷远处的渐近线。

不定积分是求导的逆运算。在区间上,如果可导函数的导数为,即,那么称为的原函数。

函数的不定积分记为

其中为常数。

从导数关系可以自然地得到一系列的不定积分公式。这些公式被汇集为积分表。

一次函数是形如的函数。特别地，当时，该函数可以被称为“正比例函数”。

一次函数的图象是一条直线。函数与坐标轴相交于和两点。

函数中的分别代表对应直线的斜率与纵截距。

当时，一次函数在定义域内单调增加；当时，一次函数在定义域内单调减少。

二次函数形如（是常数，）。

二次函数的图象是抛物线。当时，抛物线开口朝上（轴正方向）；当时，抛物线开口朝下（轴负方向）。

除了上面的一般式，二次函数还具有如下的其它形式。

通过配方，得到的“顶点式”：

通过因式分解，得到的“交点式”：（前提：）

由以上的形式，可以得到二次函数有关的性质。

二次函数以直线为对称轴，以为顶点。当当时，函数在上单调减少，在上单调增加，值域为；当时，函数在上单调增加，在上单调减少，值域为。

定义判别式。当时，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；当时，，图象与x轴有且仅有一个交点；当时，图象与轴没有交点。

幂函数是形如的函数，其中可以是任意常数，但中学阶段仅考虑其为有理常数的情形。

幂函数的定义域随的取值而定，幂函数的定义域为所有使得有意义的的取值，例如当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为。但不论的取值如何，幂函数在上总有定义，且始终满足。

当时，的定义域为。

在时，若，则单调增加；若，则单调减少。

指数函数是形如的函数，其中常数且。

指数函数的定义域为，且始终满足，，。直线是指数函数的渐近线。

当时，单调增加；当时，单调减少。

对数函数是指数函数的反函数，其形式形如，其中常数且。

对数函数的定义域为，且始终满足，。直线是对数函数的渐近线。

当时，单调增加；当时，单调减少。

三角函数包括六大类函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。它们都是周期函数。

在初中阶段，三角函数定义在直角三角形的锐角上，其值为相应边长度的比值。在高中阶段，该定义被拓展至实数域。

反三角函数是三角函数限制在一定区间上后，得到的单值的反函数（见下节“反函数”）。反三角函数包括对应的六大类函数：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数。

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这五类函数被统称为“基本初等函数”；由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及复合（见下节“复合函数”）后，得到的函数统称为“初等函数”；初等函数在其定义域内是连续的。

有些函数, 对于其定义域内自变量不同的值, 其对应规则通过两个及以上的式子来表示,这样的函数称为分段函数。

几个常见的分段函数如:

绝对值函数

符号函数

狄利克雷函数

设函数的定义域为,函数的定义域为,且值域,那么由下式确定的函数称为由和构成的复合函数

由三个及以上函数也可以类似地复合。例如由, ,可以构成复合函数

其定义域为,这里的和都是中间变量。

用的形式表达的函数称为“显函数”,该形式的等号左侧为因变量，右侧为含有自变量的式子，从而由自变量的取值可以计算出因变量取值；但有些函数的表达形式不是这样：如果变量在一定范围内满足方程,且对于任意的取值总有唯一确定的y值与之对应，那么就说方程在该范围内确定了一个隐函数。把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化。

例如，方程

确定了一个隐函数，其可以显化为,定义域为全体实数。

设函数是单射，那么它存在逆映射。该逆映射称为的反函数。

例如函数的反函数存在，为。习惯上自变量用来表示，故的反函数通常可以写为。

将函数与其反函数的图象画在同一个坐标平面内，那么它们关于直线是对称的。

二元函数是到的映射。设平面点集，按照某对应法则，中每一点都有唯一确定的实数与之对应，那么称为定义在上的二元函数，记作

且称为的定义域，对应的为函数在该点处的函数值。

当和对应函数值组成三维数组时，三维欧式空间中的点集

是二元函数的图象。通常该图象是一个空间曲面，在平面上的投影为函数的定义域。

类似地可以给出元函数的定义：设为中的点集，某对应法则将上的每个点对应到实数，则称之为定义在上的元函数。

复变函数是以复数为自变量和函数值的函数。设复平面内的一个子集，在其上的每一个点都可以按照某对应法则对应到一个或多个复数，那么称是一个复变函数。需要注意的是，不同于实函数的要求，复变函数在定义时可以是多值的。

由于每个复数的实部和虚部分别对应了一个实数，故函数值的实部和虚部各自可以视为一个二元实函数，具体来说，对应了

例如，对应了和。

物理量之间的关系常常使用函数来表示。例如牛顿第二定律中，物体上施加的外力大小、物体的质量、物体因外力而产生的加速度大小之间的关系为。

三角函数表达了在机械波的影响下，某点处质点的坐标随时间变化的关系。其中表示振幅、表示频率、表示初相位。

复变函数在物理中也有重要的应用。量子力学中用波函数来描述粒子的状态。

计算机编程中也有函数的应用。程序中的函数通常指一个固定的子程序段，它将一系列的参数取值代入，并通过确定的运算，输出唯一的结果。

一个较大的程序以主函数为入口，并由若干个函数组成。在运行过程中，主函数调用其它的函数，其它函数之间也互相调用，并在最终通过主函数输出结果。

概率论中常用一个函数来表示连续性随机变量的分布。称是随机变量的概率密度函数，如果满足：

一些统计量也是用函数表达的。例如一个大小为的样本的样本阶原点矩为：

概率统计中的许多函数与方法在生物医药、人工智能等工程应用中使用广泛。

工程技术广泛运用函数建立系统模型与分析性能。结构工程中应力-应变函数指导材料选择与安全设计；控制工程通过传递函数描述系统动态特性，实现控制器优化；电气工程借助三角函数分析交流电路。这些应用体现了函数作为工程语言在连接理论基础与实践创新中的桥梁作用。

经济学运用函数模型化经济行为与市场机制。微观经济学中，效用函数描述消费者偏好，生产函数刻画技术约束；宏观经济学采用总供给-总需求函数分析经济增长与波动。计量经济学通过回归函数揭示变量间的统计关系，为政策评估提供实证依据。