对数函数是六类基本初等函数之一。对数的定义是：如果ax =N，那么x被称为以a为底N的对数，记作x=logaN。其中a被称为对数的底数，N被称为真数。一般地，函数y=logax（a＞0 , a≠1）被称为对数函数。即对数函数以真数为自变量，指数为因变量，底数为常数的函数。

对数函数是六类基本初等函数之一。如果，那么被称为以为底的对数，记作。其中被称为对数的底数，被称为真数。在实数域内，对数函数的定义是，若扩展到复数域，那么对数函数是。即对数函数以真数为自变量，指数为因变量，底数为常数的函数。

对数函数在实数域内的图像如图1所示。当时，对数函数在定义域内是单调递增的；当时，对数函数在定义域内是单调递减的。对数函数的运算满足以下基本性质：

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的“纳皮尔算筹”，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：

Nap．㏒x=10㏑（107/x）

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。

瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：“给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙”。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。

最早传入中国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和中国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫真数，0.3010叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数」。

中国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。

在实数域内，对数函数满足如下性质：

1.对数函数定义域是，值域

2.函数过定点

3.当时，函数在定义域上是单调递增函数，当时，函数在定义域上是单调递减函数

4.对数函数没有奇偶性，没有周期性

对数函数的运算具有如下基本性质：

(5)和(6)很容易根据指数运算得到。令，那么。即，两边取对数即可得到(5)。还可以得到，进一步可以得到(6)。

设，那么。同时，这也就证明了(7)。根据开方与幂次的关系，(8)与(7)实际上是同一个公式。

对数函数的运算还满足换底公式

其中是任意一个数字。下面将证明这个公式。设，那么。对两边取对数，可以得到

移项之后即可得到(9)式。

自然常数的定义是。下面根据导数的定义来计算对数函数的导数

可以用定积分来定义的自然对数

或者，存在下面这个重要的不定积分

除此之外，下面给出与对数函数有关的积分表

在实际数值计算对数函数的值时，可以应用级数展开、算术-几何平均近似等方法计算。

对于任意的自变量，都可以在附近对对数函数进行泰勒展开

对于任意的实数，可以利用反双曲正切函数对对数函数进行展开

算术-几何平均可以产生自然对数的高精度近似值。可以通过以下公式计算，来近似到精度

其中表示的算术-几何平均值。它每迭代一步都会计算（算术平均值）和（几何平均值），并将这两个值分别赋给新的。这两个数很快都会收敛到。的值满足，以确保所需精度。

在统计力学中，玻尔兹曼提出了熵的一种数学表达形式

其中是宏观态所对应的微观态数，是玻尔兹曼常数。玻尔兹曼熵与克劳修斯熵是等价的。玻尔兹曼熵可以通过吉布斯公式推广到多种宏观态混合的情况

其中是某个微观态出现的概率。这个公式计算得到的熵只与玻尔兹曼熵差一个常数，而熵的零点是可以自由选取的。这个公式与信息熵的表达式一致。

二分查找、平衡二叉树、堆等常见操作的时间/空间复杂度是。还有许多常见算法的算法复杂度中含。

如果一个事件发生的概率是，那么它的信息量是，一个系统的信息熵是。常用的底数是2，此时信息量和信息熵的单位是bit。

在生物学与化学中, 常用 pH 值来表示溶液的酸碱性。pH 值的定义是

其中是氢离子的活度, 在稀溶液中近似等于浓度。与 pH 值相关的还有一个pOH 值, 它的定义是。在 25°C 时, 水的离子积是, 此时 pH 值和 pOH 值有关系

水的离子积随温度变化, 但是室温环境下可以近似溶液满足(35)的关系。当时, 认为溶液是中性的, 当时溶液是酸性的, 当时溶液是碱性的。