余弦定理，一般是指在欧氏平面的
三角形中关于三边长度和一个角度
余弦值的恒等式。借助余弦定理，可以在已知三角形两边及其
夹角的情况下，算出第三边的长度；也可以在已知三边长度的情况下，算出各角的余弦值。
定理内容
在中的余弦定理为
其中，，为的三边长。
上式还可以写为：
发展简史
余弦定理是一条重要的几何定理，其发展贯穿了古代数学的演进，涉及多个文明的贡献。最早关于余弦定理的思想可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。尽管他没有明确提出余弦定理，但书中第2卷命题12和13涉及类似的关系，讨论了三角形边长和角之间的代数关系。
而到了中世纪时期，阿拉伯数学家阿尔-胡瓦里兹米和阿尔-图西对三角学进行了更深入的研究。他们系统地总结了球面三角学和平面三角学中的基本定理。其中阿尔-图西首次在球面三角学中明确提出了余弦定理的球面版本。
在欧洲文艺复兴时期，数学家们从阿拉伯文献中重新发现了希腊和印度数学，余弦定理得以系统化。德国数学家雷焦蒙塔努斯在15世纪发展了三角学，使余弦定理的推广更为明确。
17世纪以来，余弦定理被明确用现代的三角函数形式表示简化了数学家的研究和应用，
成为分析三角形问题的基础工具。现代研究者还进一步扩展了余弦定理，将其应用于非欧几里得几何和高维空间的研究。
定理证明
余弦定理的证明有许多种方法，这里举如下几例。
利用勾股定理
过点作边上的高，垂足为点。
当时，点在线段（含端点）上。
故而，。令，则由勾股定理可知
两式相减消去变量即可得
当时，，由勾股定理立得
当时，点在线段的反向延长线上。
故而，。令，则由勾股定理可知
两式相减消去变量即可得
因而对任意三角形均成立。同理地，和也成立。定理得证。
平面向量
在中满足向量关系
等式两侧平方可得
即
同理可证得和。定理得证。
利用正弦定理
在中满足，故而
由三角形正弦定理
等比例带入可得
同理可证得和。定理得证。
利用面积
以为边作正方形，则
代入面积关系
可知
同理有
任意两式相加后减去第三个式子即得
定理得证。
相关定理
射影定理
在中的射影定理为
射影定理又被称作“第一余弦定理”。借助射影定理可以实现正弦定理和余弦定理的互推。
勾股定理
当为直角三角形时，不妨，则，代入余弦定理可知
即为直角三角形的勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和。
勾股定理可视作余弦定理的一种特殊情况。
角元余弦定理
在中的角元余弦定理为
定理应用
例1 已知的三边长度，利用余弦定理，求边上的中线长度。
解 设长度为，则由和中的余弦定理可得
由可得
舍去负根解得
例2 求的值。
解 构造一个三个角大小分别是的三角形，则由角元余弦定理可知
即
例3 已知三角形两边的长度及其中一条边的对角大小，则满足该条件的三角形有多少个？
解 不妨两边，及角值已知。则根据全等三角形的SSS判定可知，当边的值确定时，三角形也随之确定。
由余弦定理
可得关于的一元二次方程
若则：
当即时，方程没有实数根，即不存在满足条件的三角形。
当即时，方程有两个相同的实数根，即满足条件的三角形有且仅有一个。
当即时，方程有两个不同的实数根
考虑到时三角形才有意义，故当时，舍去，满足条件的三角形有且仅有一个；当时，满足条件的三角形有且仅有两个。
若则：
当时，，舍去负根，满足条件的三角形有且仅有一个；当时，不存在满足条件的三角形。
若则：
当即时，方程没有实数根，即不存在满足条件的三角形。
当即时，方程有两个相同的实数根，即不存在满足条件的三角形。
当即时，方程有两个不同的实数根
考虑到时三角形才有意义，故当时，即满足条件的三角形有且仅有一个；当时，满足条件的三角形有且仅有两个。
此外，用作图的方式可以更直观地看出三角形解的情况。以的情况为例。
根据边的长度取定点和点。根据大小，取定点所在的射线（不含端点）和点。以点为圆心，为半径可确定点所在的圆，两者的交点与点、点构成的三角形即为满足条件的三角形。如下图所示：
①
当时，无交点，不存在满足条件的三角形。
②
当时，有一个交点，满足条件的三角形有一个。
③
当时，有两个交点，满足条件的三角形有两个。
④
当时，有一个交点，满足条件的三角形有一个。
定理推广
向量空间
余弦定理可以推广至任意的向量空间。对于向量空间中的两个元素，可以定义两者之间“夹角”的余弦为它们的内积与模长乘积的比值：
此时余弦定理可以表述为：
三角形的余弦定理是上式在中的形式。
四边形余弦定理
给定平面上的任意一个简单四边形，且,,,,
那么：
即，给定三边和两个夹角，可以确定第四条边。
四面体余弦定理
给定空间中的任意一个四面体，有
其中， 分别是四个顶点所对的面的面积，,,，分别是对应两个面所夹的二面角。上式被称作四面体的第一余弦定理。
除此以外，令顶点相关的，则有第二余弦定理：
对于四面体，令，顶点和的对面所成二面角为,且行列式
的代数余子式记为，那么有第三余弦定理：
球面余弦定理
对于欧氏平面以外的空间，例如球面上，也有对应的余弦定理。这被称作“球面余弦定理”，在天文、航海等领域中均有应用。球面余弦定理也可以被推广至高维球面上。
余弦定理可以被推广至高维的向量空间、非欧空间等，这体现出余弦定理具有深刻的内涵。