三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，是基本的几何图形。
基本定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。它是平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫
平面三角形；三条弧线所围成的图形叫
球面三角形，也叫三边形。
由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。
分类
按角分
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度且小于180度。
按边分
1、不等边三角形：不等边三角形指的是三条边都不相等的三角形，也叫普通三角形。
2、等腰三角形：
等腰三角形（isosceles triangle）指的是有两条边相等的三角形。这两条相等的边被称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做
顶角，腰和底边的夹角叫做
底角。等腰三角形包含普通等腰三角形和
等边三角形。
3、等边三角形：
等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°，因此它是锐角三角形。
4、黄金三角形：
黄金三角形是一类特殊的等腰三角形。
黄金三角形共分为两种：
（1）底与一腰的长度比为黄金比值 ，顶角为 ，两个底角为。
（2）一腰与底的长度比为黄金比值，两个底角为 ，顶角为。
周长与面积公式
周长公式
若一个三角形的三边分别为a、b、c，则 。
面积公式
1、 （面积=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）
2、 （其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a、b、c）
6、 （其中，R是外接圆半径）
7、 （其中，r是内切圆半径,p是半周长）
8、在
平面直角坐标系内，A（a，b），B（c，d），C（e，f）构成之三角形面积为 。
11、
周长与面积关系
，其中C是三角形的周长，S是三角形的面积。
特殊点、线
三角形具有五心、四圆、三点、一线，它们是三角形的特殊点以及基于这些特殊点的相关几何图形。
“五心”指
重心、
垂心、
内心、
外心和
旁心；“四圆”为
内切圆、
外接圆、
旁切圆和
欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、
奈格尔点和
欧拉点；“一线”即
欧拉线。
五心
重心：三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
垂心：三角形的三条高线所在直线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
内心：三角形三个内角的三条
角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，它也是这个三角形
内切圆的圆心。
外心：三角形的外心指三角形三条边的
垂直平分线（也称中垂线）的相交点，用这个点做圆心可以画三角形的
外接圆。
旁心：三角形的旁心是指三角形的
旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，它是三角形一个内角的角平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。每个三角形有三个旁心。
四圆
内切圆：三角形的内切圆是指与三角形的每一条边都相切的圆。它是三角形内部最大的圆，其圆心到三角形各边的距离相等。
外接圆：三角形的外接圆是指与三角形各顶点都相交的圆，它的圆心是三角形的外心。
旁切圆：三角形的旁切圆是指与三角形的一边及其他两边的延长线相切的圆。每个三角形都有3个旁切圆，它们的圆心称为旁心
欧拉圆：在任意的三角形中，三边的
中点、三条高的
垂足、三条高的交点(
垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为欧拉圆。
三点
勒莫恩点：三角形的顶点与
内切圆对边切点的连线交于一点，这个点称为三角形的“勒莫恩点”。
奈格尔点：三角形的奈格尔点是指三角形三个
旁切圆与三角形三边切点到其所对顶点的交点。
欧拉点:三角形的欧拉点指三角形各顶点与
垂心连线的中点。三角形的三个欧拉点都在它的欧拉圆上。
一线
欧拉线：三角形的
外心、
重心、
欧拉圆圆心和
垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
性质特点
普通三角形性质
1 、内角和定理：在平面上三角形的内角和等于180°。
2 、外角和定理：在平面上三角形的外角和等于360° 。
3、 在平面上三角形的
外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
8、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
9、 等底同高的三角形面积相等。
10、 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
11、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
12、 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
在三角形中 ,其中角α,β,γ分别对着边a,b,c。
13、 在斜△ABC中恒满足： 。
14、△ABC中恒有 。
15、三角形具有稳定性。
直角三角形性质
1、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
2、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（
勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
3、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
4、直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边高的乘积。
等腰三角形性质
1、“等边对等角”：等腰三角形的两个底角度数相等。
2、三线合一：等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高重合。
3、等腰三角形的两底角的
角平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。
4、等腰三角形底边上的
垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7、等腰三角形是轴对称图形。普通等腰三角形只有一条对称轴，它是顶角平分线所在的直线。等边三角形有三条对称轴。
8、等腰三角形的腰大于它的高，且腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
等边三角形性质
1、等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
2、等边三角形是最稳定的结构。
3、 等边三角形的三条边相等，三个内角均为60度。
4、六心合一：等边三角形的外心、内心、垂心、重心、欧拉圆圆心、对称中心重合。
全等和相似三角形
全等三角形
定义
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。
特点
全等三角形的对应角相等，对应边也相等。
翻折、
平移、
旋转，多种变换叠加后仍全等。
判定
2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”；
3、两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“
角边角”或“ASA”；
4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“
角角边”或“AAS”；
5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”；
相似三角形
定义
特点
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。
3、相似三角形的
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
4、相似三角形对应
线段（
角平分线、中线、高）之比等于相似比。
判定
1、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。
2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。
3、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。
4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。
与三角形有关的定理
1、
中位线定理：三角形的
中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
2、
中线定理：指三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线平方2倍的和。
3、
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
4、三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
5、
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
6、
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
7、
正弦定理：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
8、
余弦定理：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边乘积的2倍乘以它们夹角的余弦。
9、
正切定理：在三角形中，任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商，等于这两条边对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。
10、
余切定理：余切定理就是某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。
11、
梅涅劳斯定理：一条截线在三角形各边上确定出的六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积。
12、塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点0，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则。
13、
莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
14、
共角定理：两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积的比。
15、
重心定理：三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线平方2倍的和。
16、
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
17、
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
18、
欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。
19、
费尔巴哈定理：三角形的欧拉圆与其内切圆以及三个旁切圆相切。
20、
拿破仑定理：以任意三角形的三条边为边，向外（或内）构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点。
三角形的非欧几何差异
欧几里得几何
1、定义：欧几里得几何是由古希腊数学家
欧几里得在其著作《几何原本》 中系统化的几何体系。它是研究平坦空间（曲率为零）的经典几何学也是我们最熟悉的几何形式。
2、在三角形中的性质：
罗巴切夫斯基几何
1、定义：罗巴切夫斯基几何又称双曲几何，由俄罗斯数学家
罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约伊独立提出，其描述的是负曲率空间（双曲空间）
2、在三角形中的性质：
黎曼几何
1、定义：黎曼几何由德国数学家
黎曼（Riemann）发展，描述的是正曲率空间（如球面），是
球面几何的推广。
2、在三角形中的性质：
三角形的历史
三角形是几何学的基本图形，对其研究贯穿了人类数千年的数学探索。古希腊数学家毕达哥拉斯及其学派首次严格证明了勾股定理，奠定了直角三角形研究的基石。而欧几里得的《几何原本》则系统整理了大量的三角形性质，如全等判定、内角和定理等，构建了公理化的几何体系，为后世科学家带来了重要的参考。
古印度数学家们制定了许多具有实际应用的三角函数表，并将其应用于天文学和建筑学中。他们的工作在很大程度上影响了近代数学和科学的发展，并为三角函数的研究奠定了基础。
在中国，三角形的研究更偏向实用测量，如刘徽的“出入相补”原理和秦九韶的测量技术，它们展现了古代中国几何的直观性与应用价值。17世纪后，随着解析几何和微积分的发展，三角形的研究进入更加抽象的领域。
纵观历史，三角形的研究不仅推动了数学理论的进步，还在天文学、建筑学、工程学等领域发挥了关键作用。不同文明的智慧相互交融，共同塑造了现代几何学与三角学的完整体系，至今仍在科学与技术中广泛应用。
三角形的应用
除了在数学研究领域占据重要地位之外，三角形在现实生活和现代科技中也发挥着不可替代的作用。
建筑和工程领域
在建筑与工程领域，三角形的稳定性原理被广泛应用于桥梁和屋顶结构的设计，确保了建筑物的坚固与安全。在工业设计中，三角形的比例关系为工业产品造形、力学结构设计提供了有力的科学依据。在音乐艺术领域，三角铁作为一种经典打击乐器，独特的金属三角形结构使其产生产生泛音列和共振效果。
科技领域
在当代科技领域，三角形的应用价值更加显著。计算机图形学将三角形作为基础图元，广泛应用于三维建模和实时渲染。基于三角函数的傅里叶变换和小波分析等数学工具，为数字信号处理、医学成像和人工智能中的模式识别提供关键算法支持。