正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

正弦函数起源于古希腊三角形学的“弦长思想”，经过印度数学家发展为“半弦（正弦）”，而正弦定理的提出和证明，则由中世纪伊斯兰世界的数学家完成。

古希腊天文学家希帕科斯（Hipparchus）是公认的“三角学之父”，他为了解决天文计算问题，建立了三角比表的雏形，把三角形视为圆内接三角形，从而研究弦与圆心角之间的关系；托勒密（Ptolemy）继承并发展了希帕科斯的思想，编制了高精度弦表，当时采用60进制，将圆半径定为60，并提出弦长计算公式。

印度天文学著作《Surya Siddhanta》（约公元400年）对托勒密的弦表进行了简化，提出了“半弦表”的概念。

阿布·瓦法（Abu al-Wafa，940–998）是最早提出并证明球面三角形正弦定理的数学家。

纳绥尔丁·图西（Nasir al-Din al-Tusi，1201–1274）被认为是最早给出平面三角形正弦定理证明的学者。

正弦定理（TheLaw of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即（r为外接圆半径，D为直径）。

证明一:高线法

做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

很明显：

和

因此：

和

同理：

证明二：外接圆（辅助直径法）

①锐角三角形中

如图1，作△ABC的外接圆，O为圆心。连结BO并延长交圆于D， 设BD=2R。根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得:∠DAB=90°，∠C=∠D。

∴ ，

∴ 。

同理可证 , 。

∴ 。

②直角三角形中

因为BC =a= 2R，可以得到

所以可以证明

③钝角三角形中

线段BD是圆的直径 根据圆内接四边形对角互补的性质

所以

因为BD为外接圆的直径BD = 2R。根据正弦定义

变形可得

根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即

证明三：向量法

若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥ ,则j与 的夹角为90°-∠A,j与 的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到

∴|j| | | Cos90°+|j| | | Cos(90°-C)=|j| | |Cos(90°-A)

.∴asinC=csinA 即

同理,过点C作与 垂直的单位向量j,则j与 的夹角为90°+∠C,j与 的夹角为90°+∠B,

可得

若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°+∠B.同理

a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),

∴asinB=bsinA 即

过点C作与 垂直的单位向量j,则j与 的夹角为90°+∠C,j与 的夹角为90°+∠B,可得

综上， 。

证明四：由余弦定理推导正弦定理

利用正弦函数和余弦函数平方和为1的特点，可推出利用边表示的正弦函数的平方项，再比上其所对边的平方，开平方即可的正弦定理中各项相等的结论。

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

在解三角形中，有以下的应用领域：

物理学中，有的物理量可以构成矢量三角形 。因此, 在求解矢量三角形边角关系的物理问题时, 应用正弦定理，常可使一些本来复杂的运算，获得简捷的解答。

正弦定理，余弦定理，射影定理，正切定理为理解三角形与解三角的关键定理。

在△ABC中的余弦定理为

其中a，b，c为△ABC的三边长。上式还可以写为：

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。（BD2=AD·DC AB2=AC·AD BC2=CD·AC）

在三角形中，任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商，等于这两条边对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商. 常用于反求角度，或构造角平分线证明。

△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，直径为D，正弦定理进行变形有

1.

2. , ,

3.

4. （等比，不变）

5. （三角形面积公式）

若三面角的三个面角分别为α、β、γ，它们所对的二面角分别为A、B、C,则

1.关于内心的类正弦定理

定理一：1为△ABC 内心，R 为其外接圆半径，则

定理二：ta, tb, tc分别为△ABC的角平分线，则

2.关于外心的类正弦定理

定理一：设O是锐角△ABC 的外心，OD,OE,OF 分别是O到BC,CA, AB 的距离，则

定理二：设O为锐角△ABC 的外心，AO，BO，CO分别与对边交与A1，B1，C1，则

3.关于重心的类正弦定理

定理一：设G为△ABC的重心，GD，GE，GF为G到BC，CA，AB的距离，则

4.关于垂心的类正弦定理

定理一：设H是锐角△ABC 的垂心，则

定理二：设H为锐角△ABC的垂心，HD，HE，HF为H到BC，CA，AB的距离，则

定理三：设 分别为△ABC的三条高， 则

5.关于旁心的类正弦定理

定理一：设P为△ABC中切BC的旁切圆的圆心，则

定理二：设 分别为△ABC的旁切圆的半径，则

正弦定理虽然来源于古代几何，但它在今日科技前沿仍具有重要的实际应用，尤其在涉及角度、距离、方向等空间几何关系的场景中，正弦定理常作为基础工具使用，具体应用包括以下几个领域：

卫星定轨、卫星通信中，通过测量角度来求取距离，正弦定理可用于：卫星之间的角度三角测量地面站-卫星-目标构成的三角形中求距离或方向；GPS定位系统也涉及大量的三角几何，虽然现代采用矩阵计算，但本质原理仍含正弦定理思想。

在多基站无线定位系统（如 TDOA、AoA）中，多个天线构成测距三角形，利用正弦定理可估计信号传播路径的几何关系。尤其在毫米波通信中的波束追踪（Beamforming）技术，天线阵列的角度控制与路径恢复中也用到相关三角公式。

在CT、MRI 断层扫描的图像重建中，需要根据多个角度投影数据重建内部结构，过程中构成三角关系，正弦定理用于：角度间转换，推算器官或病灶间的相对位置。

在使用双目摄像头进行深度重建时，两个摄像头+物体构成的视差三角形可以利用正弦定理求解深度。三角测量在 AR/VR 定位系统中也有广泛使用。

在建筑、桥梁结构仿真中：各种力的分解和合成场景中；分析构件间应力角度与作用距离；利用正弦定理分析非正交节点的受力。