余切函数（cotangent function），是一种三角函数，数学中的一种基本函数，标准型为y=cot(x)，其他写法如ctg(x)。余切函数是正切函数的余角函数，二者关系为cot(x)=tan(π/2-x)或cot(x)=1/tan(x)。值得区分的是，1/tan(x)≠tan-1(x)，后者是反正切函数。

在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。使用单位圆对余切函数进行定义，当直角三角形的长直角边为单位圆半径时，余切值即为短直角边的长度。

在实数域上，余切函数取的是正切函数的余角函数，二者关系为或。而在复变分析中，余切函数在复数域上的标准型为

在实数域上，余切函数标准型的定义域为，值域为，函数图像具有渐近线，即，最小正周期为。

余切函数为奇函数，因为它以点中心对称，即。同时，余切函数也关于它的所有零点中心对称。

余切函数具有周期性分布的零点，即。

余切函数在区间内单调递减，由一阶导函数得到。

余切函数具有周期性分布的拐点，由一阶导函数和二阶导函数得到。

1. 余切函数的一阶导函数

根据定义，，令，关于进行复合函数求导：

，将和代回上式有：

即为：

2. 余切函数的不定积分

令，则有：

代入余切函数的基本性质：

代回得到：

3. 余切函数的泰勒级数

可以使用泰勒级数表达式来计算得到部分展开项，或者使用性质，使用和的展开项交叉相乘得到。下面展示从的无限乘积式出发，经过对数求导推导通式：

的无限乘积式为：

时两边取对数得到：

对两边关于求导得到：

对求和式中的项进行求导：

代回表达式得到：

特别地，改写为含伯努利数时，展开式形式为：

余切函数在复数域上的标准型为，推导如下：

复分析中定义，，则由直接得到：

即为：

余切函数作为正切函数的倒数，在工程学、物理学和计算机科学中具有广泛的实际应用。在结构工程中，余切函数常用于计算斜坡或支撑结构的倾斜角度。例如，当已知斜坡的水平跨度（邻边）和垂直高度（对边）时，余切值可直接通过，从而指导施工设计，这一方法在桥梁与建筑抗震设计中尤为重要，工程师需通过角度计算确保结构的稳定性。

在物理学，余切函数可被用于分析斜面上物体的静力学平衡。假设一物体质量为，置于倾角为的斜面上，其重力分量分解为平行于斜面的和垂直于斜面的。此时，静摩擦系数和的最小值可通过确定，以避免物体滑动。类似原理也应用于机械工程中传送带的角度设计，以优化物料运输效率。

在电气工程中，余切函数与相位分析密切相关。例如，交流电路中电容或电感的阻抗特性会导致电压与电流的相位差，其功率因数可表示为，而则用于计算无功功率与有功功率的比值，这一关系在电力系统优化和滤波器设计中具有关键作用。

此外，余切函数在计算机图形学中也有重要应用。三维建模时，摄像机视角的投影变换涉及视场角（FOV）计算，其中余切函数用于将角度参数转换为像素坐标系的比例因子。例如，垂直视场角与屏幕高度的关系可表示为，这一公式被广泛应用于游戏引擎（如Unity和UnrealEngine）的渲染管线设置。

在地理测绘领域，三角高程测量法通过余切函数推算不可到达点的海拔高度，例如若观测点A与目标点B的水平距离为，仰角为，则高差。此方法结合现代全站仪技术，可实现亚米级精度的地形测绘。

余切函数的历史可追溯至古希腊天文学家的弦表研究。公元前2世纪，希帕克斯（Hipparchus）首次编制了包含弦长与圆心角关系的表格，相当于现代正弦函数的雏形，但尚未明确区分余切概念。托勒密（Ptolemy）在《天文学大成》（Almagest）中进一步完善弦表，用于计算行星轨道，其方法通过几何定理间接涉及余切关系。

中世纪阿拉伯数学家推动了三角学的符号化发展。9世纪，阿尔·巴塔尼（Al-Battani）在《天文论著》（Kitāb az-Zīj）中首次提出“正切”概念，将其定义为阴影长度与直立杆高的比值，而余切作为其倒数自然隐含于计算中。10世纪的阿尔·萨法尔（Abūal-Wafā’ al-Būzjānī）在《天文学手册》中系统化正切与余切函数，用于天文仪器（如星盘）的刻度设计。

欧洲文艺复兴时期，余切函数作为独立概念正式出现。1551年，奥地利数学家雷蒂库斯（Rheticus）的学生瓦尔特（Valentinus Otho）首次使用“cotangens”一词，并在三角表中单独列出余切值。1595年，丹麦数学家芬克（Thomas Fincke）在《几何圆》（Geometria rotundi）中确立cotangens符号，将其定义为余弦与正弦的比值。

17世纪微积分诞生后，余切函数被纳入解析体系。1707年，棣莫弗（Abraham de Moivre）在《分析杂论》（MiscellaneaAnalytica）中推导出复数形式的余切展开式，为后续的级数研究奠定基础。1748年，欧拉（Leonhard Euler）在《无穷小分析引论》中系统化三角函数符号，并提出余切函数的积分表达式。

在中国传统数学中，余切函数的概念隐含于勾股测量术。东汉《周髀算经》记载的“偃矩以望高”方法，通过矩尺投影推算山体高度，其原理与余切函数一致。明代徐光启与利玛窦合译《测量法义》，首次引入欧洲三角学术语，其中“切矩线”即对应余切函数。