逼近论是研究通过简单函数（如多项式、三角多项式等）对复杂函数进行近似表示的数学分支。其理论构建始于18-19世纪
欧拉、
拉普拉斯等人的早期探索。俄国数学家
切比雪夫，奠定现代逼近论基础。外尔斯特拉斯定理则证明连续函数可用多项式一致逼近的存在性。
。1885年
外尔斯特拉斯证明：任意区间上的连续函数均可被多项式一致逼近，确立逼近存在性理论基础。
20世纪计算机技术的出现，推动逼近论从纯理论研究转向数值计算、工程优化等应用领域。1978年中国召开首次全国函数逼近论会议，聚焦线性逼近等基础理论。1990年代苏联学派在多元函数逼近方向取得突破。
给定函数空间F与简单函数类Φ，寻找φ∈Φ使得‖ƒ-φ‖达到极小，其中‖·‖为选定范数。切比雪夫提出的判定定理指出：当误差函数在区间内交替达到最大值+E和-E至少n+2次时，多项式为n次
最佳逼近。
外尔斯特拉斯定理证明：对于闭区间[a,b]上的连续函数ƒ(x)及任意ε>0，存在
多项式p(x)使得|ƒ(x)-p(x)|<ε在整个区间成立。这为函数逼近提供了普遍性保证。
1978年杭州会议标志中国系统开展
函数逼近论研究。1987年《现代逼近论导引》整合Newton插值等经典方法与
计算机代数新进展。苏联Nikol'skii学派在周期函数逼近方向提出创新性正逆定理。21世纪
小波分析等新工具进一步拓展了逼近论的应用边界。