线性泛函延拓定理亦称哈恩-巴拿赫延拓定理，是泛函分析领域关于线性泛函延拓的核心定理。该定理可将实赋范空间子空间上的有界线性泛函保范延拓至整个空间，为对偶理论研究提供基础工具。定理表述为：设L为实赋范空间E的子空间，f0为L上的有界线性泛函，则存在E上的保范延拓f满足‖f‖E=‖f0‖L。其推论表明，对任意非零元素x0，存在空间上范数为1的线性连续泛函f使f(x0)=‖x0‖。该定理证明的关键步骤是通过Hahn-Banach延拓定理构造延拓并验证范数保持性。线性泛函延拓定理在赋范线性空间的理论中具有基础性作用，其核心结论保证了对偶空间的非平凡性质，使得泛函分析中多个重要结论得以建立。

线性泛函延拓定理亦称哈恩-巴拿赫延拓定理，是将线性子空间上的线性泛函延拓到整个空间的一个著名定理。

设p(x)是线性空间E上的半范数，E0是E的线性子空间，如果在E0上定义的线性泛函f(x)满足|f(x)|≤p(x)，则能把f(x)延拓到全空间E上并使得上面不等式在E上仍成立。

把线性泛函延拓定理应用到赋范线性空间X有下列结论：

1、设M是X的线性子空间，则M上任何一个有界线性泛函都可保持范数不增大地延拓为X上有界线性泛函。

2、对任一非零向量x0∈X，存在X上的有界线性泛函f0，满足f0(x0)=‖x0‖，‖f0‖=1。

3、对X的任一闭线性子空间M及向量x00，使得f0(x0)>1，‖f0‖

应用

线性泛函延拓定理是泛函分析中的一个重要定理，它是研究对偶理论的主要工具，它保证了赋范线性空间的对偶空间是非平凡的。

参考资料

小时百科.小时littleshi.2024-12-03

最新修订时间：2025-10-07 00:55