类数是代数数论的核心研究对象，定义为代数整数环理想类群的基数，用于量化Dedekind整环与主理想整环（PID）的偏离程度。当类数为1时，代数整数环具有唯一的素因子分解性质。19世纪库默尔通过分圆域类数研究，首次将类数与费马大定理的证明建立联系，提出正则素数概念。现代研究聚焦于类群结构理论，如科恩-伦斯特拉猜想对阿贝尔群作为类群概率的探索。三次域等具体数域的类数计算深化了该理论的实践应用价值。

理想类群由代数整数环的分式理想构成的商群定义，其有限群的阶数称为类数。若类数=1$，则该环满足主理想整环条件且具备唯一因子分解性；类数越大表明与PID的偏离程度越高。该定义推广了高斯在二次型研究中提出的等价类思想。

1847年库默尔为解决费马大定理，引入分圆域的类数概念并提出正则素数条件：若素数$不整除分圆域类数，则费马方程^p + y^p = z^p$无非平凡解。戴德金于1871年建立严格的理想理论体系，将类群概念推广至一般代数数域。希尔伯特在《数论报告》中系统论述类数与代数数论基础理论的关系。

20世纪理论研究证明有限类数定理：所有代数数域的类群均为有限群。科恩-伦斯特拉猜想提出特定阿贝尔群成为类群的概率模型，该猜想被应用于负Pell方程解的概率计算素理想分解特征计算类数。

素理想判别式$满足$且$|D|$较小时可得到=1$的数值结果。

类数与单位群共同构成代数数域的算术不变量。二次域的类数公式$$$$其中$为单位根数。该公式的推广形式在分圆域等特殊数域中仍具有研究价值。