点积是
向量间的基本运算，在欧式空间中定义为坐标各分量乘积之和或模长与夹角的余弦乘积，其性质涵盖正定性、线性性、对称性、柯西不等式等。
定义
点积一般出现在向量空间中。它是两个向量的二元运算，其结果是一个实数。欧式空间中的点积又被称为内积（与
内积空间中的概念一致）、数量积（原因是两个向量通过该运算得到的结果是数量）。有时也被称为标量积。
二维实向量定义
对于在平面上的两个向量
而言。其点积被定义为它们模长与夹角余弦值的乘积，也可以定义为它们对应坐标乘积之和。这两种方式得到的结果是相同的，即：
其中，可以视作在上的投影。点积由此也可视作一个向量在另一个向量上投影后，乘以其模长得到的结果。该定义方式可以直接推广至更高维的实向量。
高维实向量坐标定义
在三维空间中的和的点积用坐标定义为
更一般的，在高维的
欧式空间中，和的点积用坐标定义为
性质
正负
显然，零向量与任何向量的点积为零。
两向量之间夹角的大小影响了点积值的正负：夹锐角的两向量点积值为正；夹钝角的两向量点积值为负；相互垂直的两向量点积值为零。
交换律
点积满足交换律。对于任意的,有
该性质又被称为“对称性”。
正定性
对于任意,有
而且，当且仅当该向量为零向量时，上式取等号，即
该性质又被称为“正定性”。事实上，向量与自身的点积恰为其模长的平方，即
分配律
点积满足对加法的分配律。对于任意的与, 有
该性质又被称为“线性性”。
柯西不等式
向量的点积不大于它们模长的乘积，即满足不等式
该不等式被称为“
柯西-施瓦茨不等式”,又被称为“柯西不等式”。
误区
需要注意的是，点积并不满足结合律。对于任意的,一般来说
定义拓展
两种定义等价
前面给出了点积的两种定义方式：模长与夹角余弦值的乘积；坐标各分量乘积之和。这两者是完全等价的。下面以三维空间为例给出证明：
设,那么由余弦定理，可得
那么
即得证。
内积空间
设是实数域中的向量空间，若存在某种规则，使得其中一组有序向量能够对应唯一的实数，记为，且对于任意的，满足下列性质：
(1);
(2);
(3)，为任意实数;
(4)，且等号成立当且仅当。
则称在实向量空间上定义了一个内积。
实数称为与的内积，线性空间称为实内积空间。有限维实内积空间称为Euclid空间，简称为欧氏空间。
前面所述欧式空间中的点积，本质上是有限维实向量空间中定义的标准内积。
例如，对于平方可积函数空间，其上可以定义内积。对于有
对复数域上的向量空间，也可以类似地定义内积。
对于有限维复列向量空间中的两个向量和，它们的标准内积为
设是复数域中的向量空间，若存在某种规则，使得其中一组有序向量能够对应唯一的复数，记为，且对于任意的，满足下列性质：
(1) ;
(2) ;
(3) ，为任意复数;
(4) ,且等号成立当且仅当。
则称在复向量空间$上定义了一个内积。
其它点积
除了欧式空间中的向量，在其它的数学结构中也有点积的定义。“
①四元数：
对于和,它们的点积定义为：
②
张量：对两个张量先进行并乘，再进行缩并，得到的张量称为原先两个张量的点积， 得到点积的运算被称为点乘；对两个张量的两对基分别进行点乘，得到的结果被称为它们的双点积。
应用举例
借助向量点积，许多几何命题可以用代数手段得到证明，例如：菱形的对角线垂直。
证明：设菱形，。
那么, 它们的点积为
这就证明了, 菱形的对角线垂直。
向量点积在物理中应用广泛，许多物理量是用向量点积来描述的。例如恒力对物体的做
功为力与位移的点积；变力对物体的做功也可以通过对应点积微元的积分来求解。
在人工智能领域，点积也是卷积神经网络中重要的运算。