正切函数（tangent function），是一种三角函数，数学中的一种基本函数，标准型为y=tan(x)，其他写法如tg(x)。正切值定义为对边与邻边的比值，而在单位圆定义下，正切值等于该点纵坐标与横坐标之比，亦可表示为正弦与余弦之商，关系式为tan(x)=sin(x)/cos(x)，cos(x)≠0。同时正切函数是余切函数的余角函数，二者关系为tan(x)=cot((π/2)-x)或tan(x)=1/cot(x)，cot(x)≠0。

在直角三角形中，某锐角的相对直角边和相邻直角边的比，叫做该锐角的正切。如图所示即直角边/直角边。特别地，当使用单位圆对正切函数进行定义时，若直角三角形的直角边为单位圆半径时，正切值即直角边的长度。

在实数域上，正切函数与其他两个常见三角函数的关系式为。其中，是正弦函数，而是余弦函数。

而在复变分析中，正切函数在复数域上的标准型为。

在实数域上，正切函数标准型的定义域为，值域为，函数图像具有渐近线 ，即，最小正周期为 。

正切函数为奇函数，因为它以点中心对称，即。同时，正切函数也关于它的所有零点中心对称。

正切函数具有周期性分布的零点，即。

正切函数在区间内单调递增，由一阶导函数得到。

正切函数具有周期性分布的拐点，由一阶导函数和二阶导函数得到。

（负参数）

（互余角度）

（其它三角函数表示）

（和差公式）

（二倍角公式）

（半角公式）

（三倍角公式）

（降幂公式）

（万能公式）

（计划和差公式推论）

1、正切函数的常用实数特殊值

2、正切函数的一阶导函数

根据基本性质，，关于进行复合函数求导：

由得到：

即为：

3、正切函数的不定积分

令，则有：

代入正切函数的基本性质。

代回得到：

正切函数在复数域上的标准型为，推导如下：

复分析中定义，则由直接得到：

即为：

可以直接使用泰勒级数表达式来计算得到部分展开项，或者使用性质，使用和的展开项交叉相乘得到。下面展示从的无限乘积式出发，经过对数求导推导通式：

的无限乘积式为：

时两边取对数得到：

对两边关于求导得到：

对求和式中的项进行求导：

代回表达式得到：

特别地，改写为含伯努利数时，展开式形式为：

在欧几里得几何的平面直角三角形中，正切定理说明直角三角形任意两条边的和，除以第一条边减第二条边的差所得的商，等于这两条边的对角的和的一半的正切，除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商，即：

正切函数在工程学中广泛应用于坡度计算。例如，道路和铁路的设计需要确定斜坡的倾斜角度，公式为：坡度百分比=高度的垂直变化×水平距离比值的正切值×100%。在建筑设计中，屋顶的倾斜角通过正切函数计算以确保排水效果，桥梁支撑结构的力学分析也依赖正切函数分解受力方向。

在抛体运动分析中，正切函数用于计算轨迹的发射角与最大高度之间的关系。在光学领域，光的折射遵循斯涅尔定律，涉及入射角与折射角的正弦比，而介质界面反射角则通过正切函数描述。电磁波的偏振方向分析同样需要正切函数。

正切函数也是透视投影的核心工具，用于将三维坐标映射到二维屏幕。OpenGL和DirectX等图形API通过正切值定义视锥体的宽高比。在纹理映射中，正切空间用于法线贴图计算表面光照。

天文学家利用正切函数计算天体的地平高度角，结合三角函数表实现定位。六分仪的测量原理基于正切函数，通过天体与地平线夹角确定纬度，而卫星轨道倾角的计算同样依赖正切函数。

在技术分析中，价格趋势线的斜率通过正切函数量化，用于判断市场动量。期权定价模型中，波动率曲面的倾斜程度用正切函数描述。投资组合优化中，风险收益比的斜率分析涉及正切函数。

古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）在公元前2世纪编制了最早的弦长表，可视为正切函数的雏形。阿拉伯学者巴塔尼（al-Battani）在9世纪首次明确使用正切函数的倒数形式。

10世纪波斯数学家阿布·瓦法（Abū al-Wafā'）首次系统使用正切函数解决天文问题

16世纪丹麦数学家芬克

19世纪魏尔斯特拉斯（Weierstrass）通过椭圆函数理论揭示正切函数与复分析的深刻联系。20世纪量子力学中，正切函数出现在势阱问题的波函数解中。计算机时代，科德（Cordic）算法利用正切函数实现高效三角函数计算。