梯形是一类特殊的
四边形，定义为一组对边平行但另一组对边不平行的四边形。由于其几何结构简单而稳定，梯形不仅在平面几何的研究中具有重要地位，也在工程设计、建筑构造、交通标识等领域得到广泛应用。
定义
有一组对边平行、且另一组对边不平行的四边形称为梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，且通常把较短的底称作上底，较长的称作下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形中两底之间的距离叫做梯形的高。梯形两腰中点的连线叫做梯形的
中位线。
如图，在四边形中，若， 则称,四边形 为梯形。
性质
性质定理1
如图1，在梯形中，若，则，。
性质定理2（中位线定理）
梯形的中位线与两底边平行，且其长度等于梯形两条底边长度和的一半。
证明：连接并延长，交的延长线于点。
由中位线的定义可知，且在梯形中，有，。故而三角形全等的AAS判定定理可得。
所以， ，则是的中位线。
由三角形中位线的性质可知， ，该性质得证。
性质定理3（面积公式）
梯形的上、下底边的长度分别为和，高为，则其面积可表示为：
判定
判定定理1
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
判定定理2
一组对边平行,但是不相等的四边形是梯形。
证明：假设四边形 中，。
若第二组对边，则四边形是平行四边形，，与条件矛盾。
故一定有 ，那么四边形 是梯形。
特殊梯形
等腰梯形
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形具有一些一般的梯形所不具有的性质。
1.等腰梯形的腰与其中一边底边的两个夹角相等。
证明：在底边上取点使得。故而有。
在梯形中有，则四边形是平行四边形，可知 。由于等腰梯形中，故而，即三角形是等腰三角形，底角 ，该性质得证。
由第一条性质可得 ，故而通过SAS可知 ，则 ，该性质得证。
直角梯形
有一个角是直角的梯形是直角梯形。直角梯形具有一些一般的梯形所不具有的性质。
直角梯形的对角线平方差等于两底边的平方差，即。
证明：直角梯形中。
两式相减得
该性质得证。
应用举例
例1 梯形中，连接，交于点，延长，交于点，直线分别交， 于点，，求证：
（2）， 分别是，的中点。
解：（1）记。
由于 ，因此
同时由梯形中，有，
由于，，
故而
（2）由可知
由可知
故而有 ，即，为 中点。
同理为中点，结论得证。
例2 利用直角梯形的性质，证明不等式
证明：如图，直角梯形两底长分别为，，其中。腰长。
取边上的中点，取点使得。过点，分别作底边的平行线与边交于，。以点为原点建立平面直角坐标系：
可求得直线的方程为
则可求出点， 的坐标
故可求得线段长度，，。
由几何关系
代入长度即得
当且仅当 时，点， 重合，点， 重合，此时有 ，不等式取等号
该不等式得证。