最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）是数论中研究整数因子关系的基础概念。给定两个或多个不全为零的整数，它们的最大公约数是同时整除这些整数的正整数中最大的那个。在分数约简、同余理论、代数结构以及密码学等领域，最大公约数都发挥着关键作用。通过研究最大公约数的性质和算法，不仅可以简化数学表达式，还能为更复杂的数学问题提供重要工具。

设 a 和 b 为两个不全为零的整数。若存在一个正整数 d，满足下列条件：

则称 d 为 a 与 b 的最大公约数，记作gcd (a,b) = d.

几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。

当 gcd (a, b) =1 时，称 a 与 b 为互质数。在数学文献中，最大公约数还常用记号 (a, b) 表示，特别是在一些代数学文献中出现较多。