封闭性：整数的加法、减法、乘法运算结果仍为整数，除法运算仅在被除数能被除数整除时结果为整数。
奇偶性：整数可分为奇数（不能被 2 整除，如 1、-3）和偶数（能被 2 整除，如 2、-4、0）。奇数可以表示成2k+1（k为整数），偶数可以表示成2k（k为整数）。
整除性：若整数a能被整数b整除（b≠0），则存在整数k使得a=bk，称b是a的约数，a是b的倍数。
完备性公理：有上（下）界的整数子集有唯一最大（小）整数。
基本运算规则
加法：同号相加取相同符号，
绝对值相加（如 3 + 5 = 8，-3 + (-5) = -8）；异号相加取绝对值较大者的符号，绝对值相减（如 3 + (-5) = -2）；0 加任何整数得原数。
减法：a - b = a + (-b)（如 5 - 3 = 5 + (-3) = 2，-5 - (-3) = -5 + 3 = -2）。
乘法：同号得正，异号得负，
绝对值相乘（如 3 × 5 = 15，-3 × (-5) = 15，-3 × 5 = -15）；0 乘任何整数得 0。
奇数与偶数的性质
1.两个奇数的和（差）是偶数，两个偶数的和（差）是偶数；
2.如果两个整数的和（差）是偶数，那么这两个整数必为同奇或同偶；
3.一个偶数与一个奇数之和（差）是奇数；
4.如果两个整数的和（差）是奇数，那么这两个整数必是一奇一偶；
5.奇数个奇数的和（差）是奇数，偶数个奇数的和（差）是偶数，任意多个偶数的和（差）是偶数；
6.任意多个奇数的积是奇数，n个偶数的积是偶数；
7.如果n个整数的积是奇数，那么这n个数都是奇数；如果n个整数的积是偶数，那么，这n个数中至少有一个是偶数；
8.奇数的平方都可以表示成8m+1的形式，偶数的平方可以表示8m为或8m+4的形式。
特殊正整数的倍数的判定方法
1.如果一个整数的最末一位数字能被2整除，那么这个整数必定是2的倍数；
2.如果一个整数的各位数字之和能被3整除，那么这个整数必定是3的倍数；
3.如果一个整数的末两位数字组成的数能被4整除，那么这个数必定是4的倍数；
4.如果一个整数的最末一位数字是5或0，那么这个整数必定是5的倍数；
5.若一个数既是2的倍数，又是3的倍数，则这个数必定是6的倍数；
6.若将一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数必定是7的倍数。如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止；
7.如果一个整数的末三位数字组成的数能被8整除，那么这个数必定是8的倍数；
8.如果一个整数的各位数字之和能被9整除，那么这个整数必定是9的倍数；
9.如果一个整数的最末一位数字是0，那么这个整数必定是10的倍数；
10.把一个整数所有偶数位置上的数字及所有奇数位置上的数字分别相加，再求出两个和的差，如果所得的差能被11整除，那么这个整数必定是11的倍数；
11.把一个整数从右往左每两位分一段，无论最后一段是一位或是两位，如果各段数值之和能被11整除，那么这个整数必定是11的倍数；
12.若一个数既是3的倍数，又是4的倍数，则这个数必定是12的倍数；
13.若将一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数必定是13的倍数。如果差太大或心算不易看出是否是13的倍数，则重复“截尾、倍大、相加、验和”的过程，直到能清楚判断为止；
14.若将一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数必定是17的倍数。如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，同样重复之前的过程，直到能清楚判断为止；
15.若将一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数必定是19的倍数。如果差太大或心算不易看出是否是19的倍数，同样重复之前的计算思路，直到能清楚判断为止；
16.若一个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）是7（或11或13）的倍数，那么这个数必定是7（或11或13）的倍数；
17.若一个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的3倍的差（以大减小）是17的倍数，那么这个数必定是17的倍数；
18.若一个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的7倍的差（以大减小）是19的倍数，那么这个数必定是19的倍数；
19.若一个数的末四位数字表示的四位数与末四位数字以前的数字所组成的数的5倍的差（以大减小）是23（或29）的倍数，那么这个数必定是23（或29）的倍数。
“1”与“0”的特性
0是任何非零数的
倍数，若a为整数且a≠0，则a|0。
相关公式和定理
带余除法定理：设，则存在唯一的整数对使得。此时，称为被除得到的商，而称为被除得到的余数。
算术基本定理：除1外的任何正整数都可以表示成素数之积，且在不考虑排序次序的意义下表示唯一。
素数定理：整数中素数的分布具有规律性，当趋近于无穷大时，小于的素数个数近似等于。
易混概念区分
整数与
自然数：自然数通常指非负整数（0、1、2、3……），是整数的子集；整数包含负整数，范围更广。
整数与
有理数：有理数是整数和分数的统称，整数是有理数的特殊形式（分母为 1 的分数）。
拓展与应用
理论延伸
整数与代数：整数是多项式方程的重要解集合（如方程的整数解为），构成整数环，是抽象代数中环论的基础模型。
整数与数论：数论的核心研究对象是整数的性质，包括素数分布、同余理论、不定方程等，对密码学（如 RSA 加密）有重要支撑。
整数与计算机科学：计算机中通过二进制存储整数，分为有符号整数（含正负）和无符号整数（仅正整数），是编程中的基础数据类型。
整数的推广
从整数到
有理数：整数除法（非整除情况）扩展为有理数，形成更完整的运算体系。
从整数到
复数：整数可看作
实部为整数、
虚部为 0 的复数（如），是复数体系的重要组成部分。
最新进展与研究现状
当前整数相关研究集中在
数论领域，如
黎曼猜想（与素数分布密切相关，素数是整数的核心子集）、
哥德巴赫猜想（任一大于 2 的偶数可表示为两个素数之和）等仍未完全证明的问题，这些研究对推动数学基础理论发展具有重要意义。同时，整数在
量子计算、
密码学等前沿领域的应用研究也在持续推进。