整体域是代数数论中的核心概念，包含代数数域和有限常数域上的单变量代数函数域两类研究对象。其理论框架源自Dedekind环的算术性质研究，核心特征体现在类数的有限性、单位定理的成立以及zeta函数的特殊表达式。当代研究通过局部-整体原则将二者统一处理，在分圆域构造、类群结构分析等方面展现出深刻的算术对称性。

整体域包含两个平行范畴：代数数域（有限次代数数域扩张）和有限常数域上的单变量代数函数域。前者以有理数域Q为基础，后者以有限域F_q(t)为典型代表。两类对象在Dedekind整环的结构性质上具有统一性，如分数理想的唯一分解定理与非主理想的存在性。

代数数域的典型案例包括二次域Q(√d)和分圆域Q(ζ_n)，而函数域则涵盖椭圆函数域与超椭圆函数域等构造。两类整体域均满足有限性定理：理想类群为有限交换群，单位群满足Dirichlet单位定理描述的秩公式。

类数的有限性证明依赖于Minkowski几何数论方法，其中代数数域的类数计算涉及判别式的几何估计，函数域则通过黎曼-罗赫定理实现除子类群的有限性判定。对于度为2g-2的有效除子数目，存在显式公式表达为q^g + O(q^{g-1})的量级。

zeta函数的解析性质在两类整体域中展现出显著差异：代数数域的zeta函数具有解析延拓至全复平面的特性，而函数域zeta函数则表现为有理函数形式，其零点分布与黎曼猜想有完全解答。

局部-整体原则构成核心方法论，通过局部域（如p进数域Q_p和形式洛朗级数域F_q((t))）的完备化过程，将整体域的算术问题转化为局部问题的集合。典型应用包括：

Drinfeld模理论为函数域研究提供新视角，其中分圆函数域的亏格公式可表为秩与导子参数的显式组合。在塞尔的理论体系中，整体域的同调维数性质深刻影响了现代数论的发展路径。

在密码学方向，基于整体域理论的椭圆曲线密码体系依赖于类群结构复杂性的数学保证，特别在二元域上仿射多项式可约性判定中展现出实际应用价值。算法设计方面，整体域类数的有效计算成为检验量子计算优越性的基准问题之一。

数论猜想验证中，常值域扩张时的类数整除性问题通过zeta函数系数分析获得部分解答，其中g≥2情形的非平凡因子分解机制仍有待揭示。最新进展表明，特殊函数域上解析类数的显式计算已推进到亏格3的情形。