平方根（又称二次方根，英文：squareroot）是平方的逆运算，即若一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。在实数范围内，正数有两个实平方根，0的平方根为0，负数无平方根；而在复数范围内，任何非零数都有两个平方根（它们互为相反数），从而将平方根的概念推广至更一般的情形。

平方根是指一个数的平方等于给定数的这个数。若，则称为的平方根。平方根运算用符号“”表示，的平方根记作（即和）。其中表示非负的平方根，也称为“算术平方根”。

该运算称为“开平方”，称为“被开方数”。

求平方根等价于求幂运算中指数为1/2的情形，即。

0 的平方根为 0。

在实数范围内，平方根具有以下性质：

一元实函数是定义在上的严格单调增函数, 且为上凸函数。求导可得:

该函数是任意阶可导的连续函数。该函数在定义域内一致连续, 但不满足Lipschitz条件。

给定一个非零复数

那么它始终有两个相反的平方根，其平方等于。具体的计算可参考下一节过程。

利用复数的三角形式或指数形式，可以更快地得到平方根。具体地：

对于复数，其平方根为

令，也就是说。这意味着，求出给定数的平方根需要满足实方程组

如果，那么：

当，此时。该情形对应了正实数具有两个互为相反数的实平方根。

当，此时。该情形对应了负实数具有两个相反的纯虚数平方根。

如果，那么。将代入方程组中的第一个方程，得：

该方程可以视作是的二次方程，其具有一个正实根，对应具有两个互为相反数的解。对应可得

此即非零复数的两个平方根。

对于正实数的算术平方根，可以使用二分法。由于开平方函数是单调递增的，故该方法可以保证结果是正确的。该算法验证上下限的均值的平方，与被开方数比较，由此确定新的上下限。例如求根号2的步骤为：

第一步，确定上限2，下限0；

第二步，验证上下限均值1的平方为1<2，故确定新的下限为1；

第三步，验证上下限均值1.5的平方为2.25>2，故确定新的上限为1.5；

第四步，验证上下限均值1.25的平方……以此类推，直至上下限的精度满足要求。利用对应程序求根号5的值的示例如下。

由上述程序可见，二分法迭代27次后，得到了误差在亿分之一以内的结果。

利用导数是切线斜率的几何意义，可以建立迭代关系：

也即

其原理如图所示，由此即可不断靠近函数零点。

求正数的平方根，可以视为求函数的零点。代入上述迭代公式有

下面给出对应程序求根号5的示例。

由此可见，牛顿法只用了三次迭代就在亿分之一的误差内求出了根号5，其效率优于二分法。然而，该方法对于初值的选取和待求函数的性质有较高的要求。

利用竖式可以计算一个数的平方根，且可以达到任意精度。算法如下。

① 将被开方数的从个位起向左每隔两位划为一段，从十分位起向右每隔两位划为一段（根据精度要求可以向右延伸若干位0），分成几段，表示所求平方根有几位数；

② 根据第一段里的数，求得平方根的最高位上的数，其平方恰好不大于最高段的值；

③ 从第一段的数减去最高位数的平方，在它们的差的右边写上第二段数，组成第一个余数；

④ 把已求得位的数乘以20，加上下一位待定数，然后再乘上待定数，应恰好不大于接下来的余数。所得的最大整数作为下一位，然后重复该步骤直到余数为0（被开方数恰好为某个数的平方）或者达到精度要求。

例如要通过笔算计算625的平方根，那么十位为2（其平方恰好不大于6），得到下一个余数为225；然后尝试个位为5时，由(20×2+5)×5=225，可确定个位为5，余数为0，从而可知25为所求结果。

在第一个无理数被发现后，希腊数学家蒂奥泰德利用毕达哥拉斯定理（即勾股定理），构造了更多的由平方根构成的无理数，并且绘制成了如下的“蒂奥泰德无理数螺旋”。

除了实数与复数，对于其它含有乘法运算的数学结构，也可以有平方根的概念。

例如，如果给定方阵,恰有同阶方阵使得, 那么可以认为是的平方根。矩阵的平方根具有如下的特点：

此外，平方根的概念还可推广至算子以及更一般的群、环等代数结构中。

平方根在平面几何学中有应用。例如，在勾股定理和余弦定理中出现了用算术平方根表达的公式。

由勾股定理，已知直角三角形的两直角边长度为,那么斜边长度为。

由余弦定理，已知一个任意三角形的两边长度为,所夹内角为,那么第三边长度为。

方差的算术平方根称为标准差。

离散型随机变量以的概率取到, 数学期望为,其中指标,那么随机变量的标准差为

对于服从某一分布的样本，样本量为,观测值为,样本均值为,那么样本标准差为

一些物理学公式也出现了平方根。例如，在重力加速度为,高度为的地方，物体只在重力作用下自由落体，落地所需的时间为

又例如，在重力加速度为的地方，摆长为的单摆，在忽略空气阻力，摆角较小的情形下，周期的近似计算公式为

由能量等效原理，电压峰值为的交流电的有效值为,如有效值为220V 的交流电电压峰值约为 311V。

在工程学领域, 平方根的概念是许多核心计算和指标的基础, 其中代表性的应用为 RMS 值, 又称均方根(Root Mean Square, RMS)误差, 其公式为

其中，为观测值的残差，为观测值的权，为观测值总数，为未知参数个数; RMS 值反映了观测值的质量: RMS 越小, 观测值质量越好。