平方差公式是代数运算中的基本公式，其定义为：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，表达式为(a+b)(a-b)=a2-b2。这里的“数”可扩展为单项式、多项式等代数式，公式揭示了多项式乘法中“和差积”与“平方差”的恒等关系，是整式运算、因式分解的基础工具。

平方差公式是代数运算中的基本公式之一。公式表示为：，即两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。该公式不仅适用于实数域内的代数运算，在复数域等更广泛的数学领域中同样有效，是多项式乘法、因式分解等运算的重要工具。

平方差公式的雏形可追溯至古代数学文明对多项式运算的探索。在古巴比伦时期(约公元前 1800年~公元前 1600年)的泥版上经常出现这类问题：已知两数的和与乘积,或两数的差与乘积,求这两个数。巴比伦人往往采用“和差法”来解决这类问题，其中已经蕴含了平方差公式的思想。

在古代中国，赵爽和刘徽分别用几何方法证明了平方差公式。赵爽在《周髀算经》中通过切割重组正方形，直观展示了面积差可以拼成长方形；刘徽在《九章算术

古希腊数学家在研究几何图形面积关系时，已隐含了类似的数量关系推导，例如欧几里得在《几何原本》中通过矩形面积的分割与重组，间接体现了“两数和与差的乘积等于平方差”的几何意义。

中世纪阿拉伯数学家在代数研究中，进一步将几何问题代数化，对多项式乘法进行系统梳理，为平方差公式的明确表述奠定了基础。16世纪以后，随着符号代数的发展，法国数学家弗朗索瓦·韦达等人引入规范的代数符号系统，使平方差公式摆脱了几何直观的束缚，以简洁的符号形式固定下来，成为近代代数体系中的基本公式之一。如今，该公式已成为中小学数学教育中的核心内容，是培养代数运算能力的重要载体。

利用多项式乘法法则对进行展开，是推导平方差公式的直接方法。

根据多项式乘法中“先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加”的规则，展开过程如下：

化简各项乘积可得：

观察可知，式中与为同类项，其和为0，因此最终结果为：

平方差公式的几何意义可通过平面图形的面积关系直观体现，常用“大正方形分割法”进行说明。考虑一个边长为的大正方形，其面积为。在该正方形的一角截取一个边长为（）的小正方形，剩余部分的面积为大正方形面积与小正方形面积之差，即。 将剩余部分分割为两个矩形：一个矩形的长为、宽为，另一个矩形的长为、宽为。将这两个矩形拼接后，可形成一个新的矩形，其长为、宽为，因此该矩形的面积为。 由于拼接前后的图形面积相等，即剩余部分的面积既等于，也等于，从而从几何角度验证了平方差公式。

平方差公式具有双向运算的特性。正用时，可将两个二项式的乘积直接转化为平方差的形式，用于简化多项式乘法运算。例如，计算时，可直接应用公式得。 逆用时，公式可转化为因式分解的形式，即，用于将平方差形式的多项式分解为两个二项式的乘积。例如，对进行因式分解时，可转化为。

平方差公式具有对称特征，式中的和在满足运算规则的前提下可交换位置，公式依然成立。例如，，虽结果符号可能变化，但公式的结构本质不变。 同时，由于乘法满足交换律，与的运算结果完全一致，均为，体现了交换律在公式中的自然体现。

公式中的和不仅可以是具体的数字，还可以是单项式、多项式、分式、根式等代数式，甚至可以是更复杂的数学表达式。例如：

- 当为单项式、为常数时，；

- 当为多项式、为单项式时，。 这种变量的通用性使得平方差公式在代数运算中具有广泛的适用性，是简化复杂运算的重要工具。

平方差公式作为代数运算的基础工具，在简化计算、因式分解、方程求解及几何问题等多个领域均有重要应用，其核心价值在于将复杂运算转化为简洁形式，提升解题效率。

计算特定数字的乘法

对于形如“两个数的和与这两个数的差相乘”的数字乘法，可直接应用平方差公式简化运算。此类方法尤其适用于接近整十、整百的数字运算，通过构造“和与差”的形式避免繁琐的竖式计算。

举例：计算时，观察到，，因此：。

举例：，观察两组乘积的平均数均为：

所以原式

计算特定数字的平方差

对于形如“”的平方差计算，逆用平方差公式可将其转化为乘积形式，显著简化运算。相较于直接计算两个数的平方再相减，该方法通过将“平方差”转化为“和×差”，大幅减少了计算量。

举例：计算时：。

举例： 分解时，可将其视为，因此：。

举例：分解时，先提取公因式，再对剩余部分应用平方差公式：。

平方差公式可作为基础工具证明更复杂的代数恒等式。

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

举例：证明时，右侧展开后利用平方差公式化简：

右侧

=左侧，从而完成恒等式的证明。

拉马努金恒等式

考虑经典恒等式

当时给出拉马努金恒等式

平方差公式的连续使用是证明该恒等式的关键。

对于任意实数，利用平方差公式，可构造恒等式：

当时有：。

取，代入上述恒等式：

对递归代入，再次应用恒等式：

，

替换上式中的可得

对重复递归：

，

代入上式：

持续对（）应用恒等式，形成无穷根式：

即构造了拉马努金恒等式。再根据单调有界收敛定理可严格证明拉马努金恒等式成立。

证明海伦公式的过程中用到了平方差公式。

把三角形三边记为，半周长。要证明。下面给出一种证法。

画一条高垂直于边，把分成两段：左边长，右边长。勾股定理给出

把两式相减，用平方差公式展开：

解出

再求高。仍用平方差公式：

将代入，通分后分子分母都出现新的平方差：

再各用一次平方差：

将四个因子改写成半周长：

于是

面积，平方后把代入：

开平方即得海伦公式

在匀加速直线运动中，加速度为常量，初速度、末速度、位移与时间满足

可用“平均速度乘时间”结合平方差公式推导该公式。

1. 平均速度公式

匀加速运动的平均速度

位移公式

2. 消去时间

由速度公式得

代入位移式：

两边同乘 并整理即得

平方差公式与完全平方公式（）同属多项式乘法的基本公式，三者在结构上相互关联又有所区别：平方差公式不含交叉项（项），而完全平方公式含交叉项。

若将完全平方公式相减，可得到平方差公式：，进一步变形可得。 在多项式运算中，常需根据式子结构选择合适的公式，例如同时含平方和与乘积项时用完全平方公式，仅含平方差时用平方差公式。

当表达式中涉及三个变量时，可通过将其中两个变量视为一个整体，转化为平方差公式的形式进行运算，常见形式包括：

三数平方差公式的核心是通过“整体代换”将多变量问题简化为二元变量的平方差形式，其本质是平方差公式在变量数量上的扩展，运算规律与基本公式一致。

立方差公式用于表示两个数的立方差与这两个数的差之间的关系，其表达式为：

推导过程：通过多项式乘法验证，右侧展开可得：合并同类项后，中间项全部抵消，剩余，与左侧相等，从而证明公式成立。

对应地，立方和公式表达式为：

推导过程：类似立方差公式，右侧展开验证：合并同类项后，中间项抵消，剩余，与左侧相等。

立方和公式与立方差公式结构对称，仅符号存在差异：立方差公式中右侧一次项为，二次项为；立方和公式中右侧一次项为，二次项为，其中交叉项的符号与一次项符号相反，这是记忆两个公式的关键。

对于更高次幂的差（如四次差、五次差等），同样可以分解为多项式的乘积形式，其规律可由平方差公式和立方差公式推广而来：

在复数范围内，平方差公式依然成立，且可用于处理负数的平方根问题。例如分解时，可将其视为（其中为虚数单位，），因此：。 这一拓展使得平方差公式在复数域的因式分解中具有更广泛的应用。

平方差公式与完全平方公式易被混淆，关键区别在于：

应用公式时需注意符号细节，避免因符号错误导致结果偏差：

或者理解为。

当公式中的或为多项式时，需将其视为整体进行替换，并注意添加括号：