局部极值是数理科学中定义在n维欧氏空间区域R上的n元实函数在某点邻域内取得极小值或极大值的统称。设X=(x1,x2,…,xn)^T为区域R中的点，若存在ε>0使所有与X距离小于ε的点X∈R满足f(X)≥f(X)（或f(X)≤f(X)），则称X为局部极小（或极大）点；当严格不等式f(X)>f(X)（或f(X)(X)）成立时，称为严格局部极值点。局部极值可能为多个，而全局极值在整个函数域内唯一。

设 是欧氏空间 中某一区域 上的n元实函数，对于 ，若存在某个 ．使得所有 ，满足 ，则称 为 在R上的局部极小点(或称相对极小点)， 为局部极小值。若对于所有 ，且与 的距离小于 的 ，有 ，则称 为 在R上的严格局部极小点， 为严格局部极小值。

设 是欧氏空间 中某一区域 上的n元实函数。若点 对于所有 ，都有 ，则称 为 在 上的全局极小点，称 为全局极小值。若对于所有 ，且 ，都有 则称 为 在R上的严格全局极小点， 为严格全局极小值。

对于极大点与极大值，不难仿上给出相应定义。

定理1：(极值存在的必要条件)设是定义在区域上的实值函数，，是的内点。若在处可微，且在处取得局部极小值．则必有

满足上式的点通常称为驻点。驻点是函数在区域内部可能取得极值的点，即在区域内部，极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

定理2： (极值存在的充分条件) 设函数是定义在区域上的实值函数，，是R的内点，在R上二次连续可微。若在处满足，且当点处的海赛矩阵正定(或负定)时，则在处取得严格局部极小值(或严格局部极大值)。

例如，求函数的极值点及极值。

解：令

解得驻点在驻点处，海赛矩阵

是负定的(注：二次函数的海赛矩阵均为常数阵)，所以点(0，0，0)为极大点．其极大值为。