其他性质
运算与拓展
四则运算封闭性
实数在加法、减法、乘法、除法（除数非零）运算下是封闭的。即任意两个实数通过加、减、乘、除运算得到的结果仍然是实数。
1. 加法的封闭性
定义：对于任意两个实数 a 和 b，它们的和 a+b 仍然是一个实数。
依据：实数集构成一个阿贝尔群（交换群） under addition。具体来说：封闭性是实数域公理之一：如果 a,b∈R, 则 a+b∈R。
例子：是一个无理数，但它是实数；是一个有理数，也是实数。
2. 减法的封闭性
定义：对于任意两个实数 a 和 b，它们的差 a-b 仍然是一个实数。
依据：减法可以视为加法的逆运算。具体地，a-b=a+(-b)，其中 -b 是 b 的加法逆元。由于实数集在加法下封闭，且每个实数都有唯一的加法逆元（即 -b∈R），因此 a-b 也是实数。
例子：π-2 是一个无理数，但它是实数；5-7=-2 是一个整数，也是实数。
3. 乘法的封闭性
定义：对于任意两个实数 a 和 b，它们的积 axb 仍然是一个实数。
依据：实数集在乘法下也构成一个阿贝尔群（除去零元）。具体来说：封闭性是实数域公理之一：如果 a,b∈R, 则 axb∈R。
实数的乘法兼容于其序结构，并且通过实数的完备性，乘法的结果不会“逃离”实数集。
例子：2×3=6 是一个无理数，但它是实数；是一个有理数，也是实数。
4. 除法的封闭性
定义：对于任意两个实数a和b，其中b≠0，它们的商仍然是一个实数。
依据：除法是乘法的逆运算。具体地，，其中是 b 的乘法逆元。由于实数集在乘法下封闭(除零外),且每个非零实数都有唯一的乘法逆元(即),因此也是实数。
注意：除数b 不能为零，因为零没有乘法逆元。这是除法封闭性的唯一例外。
例子：是一个无理数，但它是实数。
实数域的公理
实数集是一个完备的有序域，这意味着它满足域公理（加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配律、存在逆元等），序公理（全序关系）和完备性公理（如最小上界性质）。这些公理直接保证了四则运算的封闭性。
封闭性的重要性：封闭性是实数集在数学分析、代数和其他领域中的基础。它确保了实数在运算下的稳定性，使得方程求解、函数定义等操作可以在实数范围内进行而不必担心结果超出集合。例如，多项式方程的实根可能不是有理数，但一定是实数（代数闭包不成立，但实数封闭域性质部分成立）。
运算规律
实数满足交换律、结合律、分配律，有加法和乘法的单位元（0和1）及逆元（加法逆元为相反数，乘法逆元为倒数，除0除外）。
实数与复数的关系
复数 是包含实数的更大集合，任意实数 r 可以看作复数 r + 0i。复数集合是实数集合的扩展，引入虚数单位i，使得多项式方程在复数域中必有解（代数基本定理）。实数集合是复数集合的一个子集。
几何解释
实数可以直观地表示为一条无限延伸的直线（数轴）上的点。
复数则可以表示为一张无限延伸的平面（复平面）上的点。其中：
横轴（实轴）对应所有实数 r+0i。
纵轴（虚轴）对应所有纯虚数 0+bi。
因此，将实数嵌入复数，可以几何地理解为将一条直线（R）嵌入到一个平面（C）中，作为该平面的一条坐标轴。
发展历史
在古希腊数学中，数的概念主要源于几何量的度量。毕达哥拉斯学派曾认为“万物皆数”，即一切量都可以由整数或其比值（即有理数）表示。然而，无理数的发现（如 [数学公式] 不能表示为整数比）在公元前5世纪动摇了这一信念。据说，发现这一点的希帕索斯因此被逐出学派（甚至被处死，传为神罚），这标志着实数系统的不完整性首次暴露。
在古印度与阿拉伯数学中，数学家开始尝试系统化包括零、负数、无理数在内的数概念。例如印度数学家婆罗摩笈多和阿拉伯数学家花拉子密对于代数和数的扩展起到了桥梁作用。
文艺复兴时期的欧洲，随着代数学的发展和符号系统的确立，对实数的使用更趋普遍。但直到这一时期，实数的概念仍缺乏形式上的定义，多基于几何图像或算术直觉。
牛顿与莱布尼茨在17世纪发展出微积分，对“连续量”的研究进一步推动了实数概念的使用。他们的工作虽成功但建立在模糊的无限小量直觉之上。
欧拉等人提出了许多关于级数和函数展开的理论，进一步拓宽了对实数的应用，但仍未解决实数的“严格定义”问题。
19世纪是实数理论正式建立的世纪。在对微积分基础的反思中，数学家逐步认识到需要对实数系统进行公理化定义：
戴德金（Dedekind）于1872年提出了实数的戴德金分割构造法；
康托尔（Cantor）则基于有理数的柯西序列定义实数，强调数列极限的观点；
魏尔施特拉斯（Weierstrass） 对连续性、极限等概念进行严格化，使分析从几何直觉中独立出来。
这一阶段确立了实数为完备有序域的结构，使数学分析具备坚实基础。20世纪以来，随着集合论、公理化集合结构（如策梅洛–弗兰克尔集合论）的确立，实数被嵌入更广义的数论与拓扑框架中。同时，实数的研究扩展到了非标准分析（如罗宾逊的超实数体系）、构造主义实数（如Bishop实数）、计算实数等多个分支。
应用领域
数学及理论科学
实数是现代数学的基石，广泛用于数理分析、微积分、常微分方程和偏微分方程等领域。实数的完备性保证了极限、连续函数和导数等概念的严密定义，使得数学模型可以精准地描述变化和运动。拓扑学中，实数集作为一维欧几里得空间，是理解更高维空间性质的重要基础。
物理学
物理学中的许多基本量都是实数，例如距离、速度、时间、温度、能量、电场强度等。经典力学、电磁学、热力学、量子力学等学科都依赖实数来精确刻画物理系统的状态和变化。实数的连续性特性使得物理量能够无缝地描述现实世界的连续现象。
工程技术
计算机科学与信息技术
经济学与金融学
实数用来表示货币数量、价格、利率、风险指数等连续经济变量。经济模型（如供需曲线、期权定价模型）依赖实数计算实现预测和优化。金融市场的数理统计和时间序列分析也广泛使用实数理论。
自然科学其他领域
日常生活中的应用
时间、长度、体重、速度、温度等日常量度均为实数的实际应用。实数帮助人们精确计量和交流数量信息。