子格是格论中描述格结构封闭性的基本概念，指格的非空子集关于原有交运算∧与并运算∨保持封闭形成的子结构。其数学定义为：若格L的子集S对L中的这两种运算均封闭，则S称为L的子格。

设S是格L的子集，若S关于L中的二元运算∧和∨是封闭的，即对任意a，b∈S，a∧b，a∨b∈S，则称S为L的子格；若子格S含0，1，则称S为格L的{0，1}-子格，若a，b∈L，a≤b，则[a，b]={x∈L|a≤x≤b}是L的子格，称为闭区间，同样可定义半开区间(a，b]和[a，b)以及开区间(a，b)，设H为格L的非空子集，L中一切包含H的子格的交，称为L的由H生成的子格，记为[H]；称H为[H]的一个生成系，设S是格L的子格，若除L外，没有真包含S的子格，则称S为L的极大子格，格L的一切极大子格的交集Φ(L)称为弗拉梯尼子格，格L的所有子格按集合的包含关系构成格，记为Sub(L)。

例如对A={a，b，c}，(P(A)，⊆)构成一格。其哈斯图如图1所示。而

B1={∅，{a}，{b}，{a，b}}，

B2={{a}，{a，c}，{a，b}，{a，b，c}}，

B3={{a}}，

B4={{a}，{a，b}}，

B5={{a}，{a，b}，{a，b，c}}，

B6={∅，{a}，{a，b，c}}，

B7={∅，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，

B8={∅}，

B9=P(A)

等都是(P(A)，⊆)的子格，其中B8，B9为其平凡子格。有兴趣的读者可以自己求一求(P(A)，⊆)共有多少个不同的子格。

【例1】D90表示90的全体因子的集合，包括1和90，D90上整除|关系构成格。

(1)画出格的哈斯图。

(2)计算6∨10，6∧10，9∨30和9∧30。

(3)求D90的所有含4个元素且包含1和90的子格。

解 (1)格(D90，|)所对应的哈斯图如图2所示。

(2)从图中可以看出：

6∨10=30，6∧10=2，9∨30=90，9∧30=3．

(3)通过对除去1，90之后的10个元素的二元素组合共=45个进行验证，可求出满足条件的子格共24个，有：

{1，2，6，90}，{1，2，10，90}，{1，2，18，90}，{1，2，30，90}，

{1，2，45，90}，{1，3，6，90}，{1，3，9，90}，{1，3，15，90}，

{1，3，18，90}，{1，3，30，90}，{1，3，45，90}，{1，5，10，90}，

{1，5，15，90}，{1，5，18，90}，{1，5，30，90}，{1，5，45，90}，

{1，6，18，90}，{1，6，30，90}，{1，9，10，90}，{1，9，18，90}，

{1，9，45，90}，{1，10，30，90}，{1，15，30，90}，{1，1 5，45，90}.

说明 对子格的求法，没有统一标准的方法，此题只需通过穷举所有的可能即可。