圆是一种几何图形，其定义是平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周时另一个端点所形成的图形，也可以定义为平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做圆。其固定的端点 称为圆心，线段 称为半径。以点 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆 O”。

根据上述定义可知，圆上各点到定点（圆心 ）的距离都等于定长（半径 ），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。因此，圆也可以定义为平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念。在六千年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。古代人还发现圆的木头滚着走比较省力，于是在搬运重物时就把圆木垫在下面滚着走。大约在六千年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆的木轮；约四千年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。

会作圆，不一定懂得圆的性质。战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载，意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径。这比古希腊数学家欧几里得给圆下定义要早一百年。欧几里得在其著作《几何原本》中证明了关于圆的诸多命题，包括我们常说的切线定理、垂径定理、圆周角定理等。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；例如图中, 都是 ⊙O 的弦，且 是直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；以点 为端点的弧记作 ，读作“弧AB ”。直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧（用三个点表示，例如 ）称为优弧，小于半圆的弧（例如 ）称为劣弧。

顶点在圆心的角称为圆心角；顶点在圆上且两边都与圆相交的角称为圆周角。例如图中 分别是圆心角与圆周角。

与这些概念相关的定理有圆心角定理、圆周角定理和垂径定理等（参见“相关定理”部分），它们分别关注同圆或等圆中弦、弧、角存在的等量关系，圆周角与圆心角的数量关系以及弦与直径的位置关系。

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。圆还是中心对称图形，圆心是对称中心。

圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意一个角度所得的图形都与原图形重合。这使得我们所见到的许多与旋转有关的物体都是圆形。例如车轮做成圆形，才使得其在平面上滚动时车轴能处于稳定的高度；否则如果车轮不是圆形，整个车辆行驶时将处在不断的上下颠簸中。此外，我们所见到的盖子，例如锅盖、井盖等，也往往为圆形，这是因为圆形的盖子只要不形变从任何方向都不会掉进去。

能够重合的两个圆叫做等圆。容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

圆的周长

圆的周长与直径之比是一个常数，称为圆周率，用符号 表示。 是一个无理数，实际应用中常近似取 。所以圆的周长计算公式为

其中 d,r分别是圆的直径和半径。

圆的面积

圆的面积公式为

这一公式可由周长公式根据极限的思想推导出来。

圆弧长

设半径为 r的圆中一圆心角 ，则它所对的圆弧的长度为

其推导思想是把整个圆的周长看作360°的圆心角所对的弧长，由此出发推导出圆心角的情形。

如果圆心角用弧度制表示，则公式转化为 。

扇形的面积

这一圆弧和组成圆心角的两条半径围成了一个扇形，该扇形的面积为

其推导思想与弧长公式相似。

曲率和离心率

半径为 r的圆上任意一点处的曲率半径都为 r，曲率为 。

圆作为圆锥曲线，其离心率 ，可看作是特殊的椭圆。

在平面内，点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内。如果圆的半径为r，点到圆心的距离为 d，那么点在圆外等价于 d>r，点在圆上等价于d=r ，点在圆内等价于 d

在平面内，直线和圆可能有2, 1, 0个公共点，分别对应了直线和圆的三种位置关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离。当直线与圆相交时，直线称为圆的割线；直线与圆相切时，称为圆的切线，唯一的公共点称为切点。设 ⊙O的半径为 r，圆心 O到直线l 的距离为d ，则容易得到：直线 l和 ⊙O相交等价于 dr 。

在平面内，两个半径不同的圆的位置关系可能有5种：（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含。设 的半径分别为 且 ，两圆圆心距 ，则这5种位置关系分别等价于（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。

相关定理

圆心角定理

圆心角定理是说，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

这个结论反过来也成立：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

用图形可描述为： 是 上的点，则

圆周角定理

在圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，这个结论称为圆周角定理。

如图， 是 上的三点，则 。

进一步还可以得到推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆 （或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，这个结论称为垂径定理。

如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ，则 ，且 。

进一步还可以得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心。

切线判定性质定理

切线的判定定理是说，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。反过来可以得到切线的性质定理，即圆的切线垂直于过切点的半径。

如图， 是 的一条半径，过点 的直线 ，则直线 与 相切。反过来，如果已知直线 与 相切于点 ，那么连接 就有 。

切线长定理

切线长定理是说，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长（圆外这一点和切点之间线段的长）相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

如图，过 外一点P引其两条切线，切点分别为 ，则 ，且 。

圆幂定理

设平面内有一点 和半径为 的 ，定义 为点 对于 的幂。过点 作一条直线 与 交于点 （特别地，相切也成立，此时认为 重合），则 。这个结论叫做圆幂定理。

根据圆幂定理，可得到以下几个重要结论。

的两条弦 相交于点 ，则 。这就是相交弦定理。

如果点 在 外，就得到了割线定理：过点 引两条割线 分别与 相交于 和 ，则 。

特别地，如果 实际上是 的切线，即 重合，则有 。这称为切割线定理。

方程

标准方程

根据圆的定义，在平面直角坐标系 中，一个动点 在以点 为圆心，半径为 的圆上，当且仅当它到圆心的距离 ，也就是

两边平方得

上式称为圆心为点 ，半径为 的圆的标准方程。

一般方程

圆的标准方程可以变为

的形式。反过来，该式通过配方，也可以变形为

所以，当 时，原方程表示一个以点 为圆心， 为半径的圆，称为圆的一般方程。

参数方程

根据三角函数的定义可知，动点 在以在以点 为圆心，半径为 的圆上，当且仅当存在 ，使得 且 。所以圆心为点 ，半径为 r的圆的参数方程为，其中 为参数。

三点方程

可以证明，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。平面直角坐标系中经过不在同一直线上的三个点 的圆的方程由下式给出：

其中 ，这个条件等价于这三点不共线。

绘制方法

实际应用中可根据圆的定义直接画圆[1]。在平面上钉一枚钉子，上面系一根不可伸长的细绳，另一端套住笔尖，让笔尖在保持细绳绷紧且紧贴平面的条件下绕一周即可得到一个以钉子为圆心、细绳长为半径的圆。还可以用圆规等工具直接画圆，用圆规截取指定半径长度的线段，将其带针的一端固定在一点作为圆心，带铅笔的一端绕一周也就得到了圆。

此外，借助计算机软件等信息技术工具，可以非常方便准确地画圆。例如在GeoGebra软件中，可以使用其内置的工具通过指定圆心与圆上一点、圆心与半径、圆上三点等多种方式确定一个圆，也可以通过手动输入圆的方程的形式直接得到指定的圆。

概念推广

球

圆的概念可以推广到更高维的空间中。在平面直角坐标系（可看作二维欧式空间 ）中，圆心在原点、半径为1的圆称为单位圆；而在一般的n 维欧式空间中，所有长度为1的向量构成的集合称为单位球面，它可以看作到定点（原点）的距离等于定长（1）的点的集合，这与圆的定义是类似的。

特别地，当 n=3时，就得到了立体几何中的球面，即空间内到定点（称为球心）的距离等于定长（称为半径）的点的集合。仿照推导圆的标准方程的思路，我们可以推导出在空间直角坐标系Oxyz 中，以点 为球心、半径为 的球面的方程为

椭圆

圆是圆锥曲线的一种，可由垂直于轴的平面截圆锥得到。如果该平面稍稍倾斜，则可以得到一种更一般的圆锥曲线——椭圆，其定义是平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹，此时这两个定点称为椭圆的焦点，它们的距离称为椭圆的焦距。

在平面直角坐标系中，设有两个定点为 ，动点 到这两点的距离之和为 ，其中 ，那么根据定义可知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆。经过推导可得点 的轨迹方程为

其中 ，这一方程称为椭圆的标准方程， a,b分别称为椭圆的长半周长和短半轴长。

对于椭圆，定义 为离心率，它越接近1，椭圆就越“扁”；反之，越接近0，椭圆就越“圆”。特别地，如果椭圆的两个焦点可以重合，那么有 ，所以 ，此时椭圆的标准方程退化为 ，它表示一个圆心在原点、半径为a 的圆。从这个意义上来说，圆可以看作离心率为零的特殊的椭圆，椭圆是圆的推广情形。

用AutoCAD绘圆

参考资料

最新修订时间：2025-12-16 17:59