因式分解是代数学中将复杂的数或代数式分解为基本因子乘积形式的方法。对于整数而言，该过程表现为素因数分解，即根据算术基本定理将正整数唯一表示为质数幂次的乘积（如60=22×3×5）；在
多项式领域，则是将多元表达式转化为给定数域内不可约多项式的乘积（如x2-5x+6=(x-2)(x-3)）。
定义与历史沿革
因式分解的定义
多项式的因式分解是将一个多项式表示为多个因式的乘积的过程。形式上，若
多项式可以表示为,其中、为多项式因式， 则称该表示为的因式分解。多项式的因式分解在代数中是求解方程、简化表达式和进行积分等操作的基础。
示例：将多项式分解因式：,其中
和是多项式的因式。
历史简述
因式分解的相关研究源远流长，随着代数学科的发展逐步深化。在代数理论的演进中，阿拉伯数学家及文艺复兴时期的欧洲学者对多项式运算的探索，为因式分解理论的初步形成奠定了基础。19世纪，抽象代数和多项式理论的兴起使因式分解的研究进入新的阶段，其理论体系不断完善，成为现代代数的重要组成部分。如今，因式分解不仅是数学教育的基础内容，也是代数研究及相关应用领域的重要工具。
基础理论与基本概念
相关术语
在多项式领域，若多项式可表示为,则和均是的因式(或因子)。
在给定数域(如有理数域、实数域、复数域)上，若多项式不能表示为两个次数更低的多项式的乘积(除常数多项式外),则称为该数域上的不可约多项式。
示例：
因式分解的存在性与唯一性
多项式的因式分解需结合数域范围判断，在不同数域上，同一多项式的分解结果可能存在差异。
示例：
这种因数域变化导致的分解差异，可通过高斯引理得到清晰阐释：若两个整系数多项式的各项系数互质(此类多项式称为“本原多项式”),则它们的乘积仍是本原多项式。
示例：与均为本原多项式，其乘积的系数 6、13、6 互质，仍为本原多项式。这一性质是判断整系数多项式在有理数域上可分解性的重要依据。
因式分解的范围
因式分解的一般原则与步骤
分解原则
标准分解步骤
1. 提取公因式：优先提取所有项的最大公因式，使，其中系数互质。
示例：。
2. 使用公式：
3. 尝试技巧分解：常用的技巧有分组分解（适用于四项以上）：如、十字相乘（二次三项式）：如等。其他常用的技巧详见第 4 章“常用的因式分解方法”。
4. 验证不可约性：
使用下一节“整系数多项式的不可约性判别方法”判定分解后的因式是否可约。
整系数多项式的不可约性判别方法
1. 有理根定理: 若整系数多项式有有理根（互质），则是常数项的因数，是首项系数的因数。例如，的可能有理根为，代入验证得是根，进而分解为。
2. 艾森斯坦判别法: 用于快速判断多项式在有理数域上是否可约。设整系数多项式（即系数均为整数）。若存在一个素数，满足以下三个条件：
则在有理数域上是不可约多项式（即不能分解为两个次数更低的有理系数多项式的乘积）。
例如，对，取素数：
通过上述示例可见，因式分解的结果与“范围”密切相关：同一多项式在不同数域或整数环上的分解形式可能不同，需结合数域特性选择合适的分解方法。
常用的因式分解方法
常用的因式分解方法主要包括提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等。对于复杂的多项式，还有拆项与添项法、多项式除法等技巧。
提取公因式法
提取多项式各项的公共因子，将多项式表示为公因式与剩余多项式的乘积。
步骤：
示例：
公因式为, 结果为.
变形为, 公因式为, 结果为.
公式法
平方差公式
完全平方公式
立方和与立方差公式
其他幂次公式(与
例:.
例:.
十字相乘法
二次三项式的十字相乘法
原理：将二次项系数和常数项分解为整数乘积，满足交叉相乘后和为一次项系数，即：.
示例：
，，交叉相乘(不符)；调整为，，则(仍不符)；最终，，(错)，正确分解为， ，交叉和为，故：。
双十字相乘法（多元或高次多项式）
适用于形如的二元二次多项式。对和项分解，对常数项分解，满足交叉乘积和为中间项系数。
示例：分解：
分组分解法
适用范围：四项或以上多项式，通过分组提取公因式或套用公式。
步骤： 分组使每组有公因式或可套用公式，再整体提取公因式。
示例：
.
.
拆项与添项法
原理：通过拆项或添项构造完全平方式，再结合平方差公式分解。
示例：分解:.
多项式除法
有理根定理
可能有理根为，代入得；代入得, 故是因子， 再用多项式除法分解。
多项式除法
通过有理根定理或特殊值法试出多项式的一个因式后，可效仿算术中的竖式除法对多项式进行因式分解。
示例：对,已知是根，综合除法过程如图所示：
商式为,继续分解为。故：.
主元法
将多元多项式中某一变量作为主元，其余视为常数，再因式分解。
示例：分解（以为主元）：
待定系数法
步骤：
示例：分解,假设可分解为二次式乘积：
展开得,
比较系数：，
解得，
故：.
换元法
原理：用新变量替换多项式中的部分表达式，简化结构后分解。
示例：分解，设，则：，回代得：.
因式分解的应用
因式分解贯穿代数、数论、分析等领域，其本质是将复杂结构分解为基本单元的乘积，既体现了数学中的“还原论”思想，也为实际问题提供了化繁为简的工具。从解方程到密码学安全，其应用深度与广度彰显了基础数学的重要性。
解代数方程
因式分解是求解多项式方程的核心方法，其理论基础是：若多项式可分解为，则为方程的根。
解得根。
化简代数式
分式的约分与通分
例：化简, 分解得：
例：对与,分母分解为和,最简公分母为.
根式的化简
通过因式分解将被开方数中的平方因子提出，简化根式表达式。
例：化简，分解得：
解不等式
利用因式分解将不等式转化为若干一次因式的乘积，通过“穿针引线法”确定符号区间。
例：解不等式，
1.求根；
2. 数轴标根，从右至左穿线，得解集：
函数分析
1. 因式分解多项式函数可直接得到零点，用于绘制函数图像。
例：二次函数分解为，零点为，开口向上，顶点在。
2. 分析函数时，可用因式分解方法分解导数的因式，确定驻点与单调区间。
数论应用
1. 素因数分解与算术基本定理：任意大于 1 的整数可唯一分解为素数幂乘积，是密码学、数论算法的基础。
例：，其正因子个数为个。
2. RSA加密算法：基于大数分解的困难性，若(为大素数),分解是破解私钥的关键。
例 : 若，分解为, 则欧拉函数，用于密钥生成 。
3. 梅森数分解：形如的梅森数，若为素数，可能为梅森素数(如是素数)。
4.丢番图方程：通过因式分解缩小整数解范围，如方程分解为，结合且同奇偶，得解。
其他数学与科学应用
1.微积分：部分分式分解用于有理函数积分，如：
2. 物理与工程：
3. 组合数学：因式分解用于多项式恒等式证明，如二项式定理展开式的系数分解。
因式分解时应注意以下几点
1.结果一定是积的形式，分解对象是多项式。