在数学中，向量指具有大小和方向的量。在二维平面或三维空间中，它可以形象化地表示为带箭头的线段。与向量对应的量叫做数量，只有大小，没有方向。

向量被定义为一个既有大小又有方向的量。

向量可以用于表示具有方向性的物理量，如位移、速度、力、加速度等。例如：“向东走5公里”是一个位移向量（方向：东，大小：5公里）；“以10m/s的速度向北运动”是一个速度向量（方向：北，大小：10m/s）。向量与数量的区别在于，向量同时包含大小和方向两个信息，而数量仅包含大小信息。例如，“向东走5公里”是一个向量（或称矢量），而“5公里”是一个数量（或称标量）。

向量有多种表示方式，以便于在不同场景下使用：

几何表示法：用一条有向线段线段表示。其中，线段的长度代表向量的大小，箭头的指向代表向量的方向。

代数表示法：向量可以用起点和终点的大写字母表示，如从点A指向点B的向量记作。也可以用带箭头的单个小写字母表示，如，。在印刷体中，向量也可以用粗体的小写字母表示，如，。

坐标表示法：在平面直角坐标系中，将向量的起点平移至原点O(0,0)，其终点坐标(x,y)就称为该向量的坐标表示，记作=(x,y)。若已知起点和终点，则向量的坐标可表示为。在n维空间中，也可以用具有n个分量的坐标来表示其中的向量。

在几何上，一个向量可以用一个有向线段来表示，其主要构成要素有：

起点和终点：有向线段的开始和箭头所指向的端点。如图点和点。

方向：有向线段从起点指向终点的朝向。

大小：也称作向量的模。如图中有向线段的长度即为它所表示向量的模。其中，长度为1的向量称作单位向量；长度为0的向量称作零向量，记作，它的起点和终点重合，方向是任意的。

两个向量的方向和大小相同，就认为这两个向量相等。起点和终点仅是为了直观表示向量而产生的，实际上，有向线段任意平移后，都表示相同的一个向量。

模相等且方向相同的两个向量称作相等向量，记作。

在坐标表示下，若，,则的充要条件是且。

共线向量：也称作平行向量，定义为方向相同或相反的两个非零向量，记作。规定零向量与任何向量都共线。

判定共线向量的充要条件为：存在一个实数，使得 。在坐标表示下，向量与共线的充要条件是。

方向夹角为的两个非零向量称为垂直向量。记作。

在坐标表示下，非零向量与垂直的充要条件是。

在平面中，有平面向量基本定理：平面上的任意向量均可唯一地表示为两个不共线向量的线性组合。这两个不共线的向量被称为基底。

在三维空间中也有类似的空间向量基本定理：任意空间向量均可唯一地表示为三个不共面向量的线性组合。

当基底选为空间坐标系中坐标轴方向的单位向量时，线性组合的系数就对应了向量的坐标表示。

向量的概念最早可以追溯到古希腊时期的几何学，但直到18至19世纪，才有明确的定义和发展。在古希腊几何学中，人们就已经开始研究空间中的方向和大小，欧几里得的《几何原本》中就讨论了线段和几何图形的概念。

17世纪末18世纪初，笛卡尔引入了坐标系，将几何问题转化为代数问题，用坐标来表示点的位置，也开始研究具有方向和大小的量。

19世纪初，哈密顿引入了四元数：这可以被视作具有四个分量的向量。

19世纪中叶，柯西和格拉斯曼将向量的概念从几何中解放出来，发展了向量代数。

19世纪末20世纪初，吉布斯和赫维赛德将向量和物理学的概念结合，引入梯度、散度、旋度等运算，发展了向量分析，使得向量成为了分析学和物理学中的重要工具。

20世纪，线性代数的发展进一步推动了向量的研究，向量空间的概念被提出。

向量加法：

三角形法则：将两个向量首尾相接，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量，即为它们的和。即

平行四边形法则：将两个向量的起点重合，以它们为邻边作平行四边形，则从共同起点出发的对角线所表示的向量即为它们的和。即在平行四边形ABCD中

坐标运算：两个向量相加，等于它们的对应坐标分别相加。若，，则。

向量减法：

向量的减法是加法的逆运算，即，其中表示向量的负向量，即模与相等，方向与相反的向量。

几何描述：将两向量起点重合，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量，即为它们的差。即

坐标运算：两个向量相加，等于它们的对应坐标分别相加。若，，则。

实数与向量的乘积是一个向量，记作。

几何描述：模为；当时，的方向与相同、当时，的方向与相反、当时，是零向量。

坐标运算：若，则。

两个向量的内积，也常称为数量积、点积或点乘，是一个数量。向量和的内积记为，它等于这两个向量的模的乘积，再乘以它们夹角的余弦值。即

其中是向量，的夹角，满足。特别地，规定零向量与任何向量的内积为0。

向量，的内积，还等于的模与在上的投影长度的乘积。其中在上的投影长度为。

向量内积的坐标运算规则如下：若，，则。同样的，在三维空间中，若，，则。

向量的内积满足交换律，但一般不满足结合律。

向量内积具有物理意义：如果一个物体在恒力的作用下产生位移，则该力所做的功即为力与位移的数量积，即

外积一般是指三维空间中向量的二元运算，也称为向量积、叉积或叉乘，是一个向量。向量和的外积记为，它的大小等于以两个向量为邻边的平行四边形面积，即：

它的方向与和均垂直，符合当作以内的与一致方向的旋转时，右螺旋前进的方向。

设三维空间中的坐标系具有标准正交基，，，那么两个向量和的外积的坐标表示为：

向量外积不满足结合律和交换律，一般地，有：

混合积又称三重积，是三个向量之间的混合运算。记的混合积为，定义为

混合积得到的结果是数量。其绝对值表示以为棱的平行六面体的体积。[4]该绝对值的结果与三个向量在混合积中所处的位置无关。

向量是解决几何问题的强大工具，它通过将几何元素坐标化、运算化，实现几何问题的代数化求解。

设点P是直线上的一个点，满足，且，若已知和，则点P的坐标为：

特别的，当时，点P是线段的中点，此时点P的坐标是

三角形的重心是其三条中线的交点。若点G为的重心，则有：

对于平面内任意一点O，有：

在坐标表示下，若已知三角形三个顶点的坐标，，，则其重心G的坐标为

向量可应用于几何定理的证明，例如：

试证三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于底边，且长度等于底边长度的一半。

证明 在中，点D，E分别是AB，AC的中点，则，。

同时，由向量关系

可知

故而有且，该定理得证。

在空间几何中，向量是证明和计算空间中线、面位置关系的重要工具。通过建立空间直角坐标系，将几何元素代数化，可以方便地判定平行、垂直关系，并精确计算各类夹角。

基本元素的向量表示：

直线的方向向量：直线上任意非零向量称为该直线的方向向量。

平面的法向量：若直线垂直于平面，则直线的方向向量称为平面的一个法向量。平面的法向量有无数个，且非零。

位置关系的判定：

设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，。

空间角的计算：

设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，。

线线角：直线，所成的夹角是两直线方向向量的夹角，满足

线面角：直线与平面所成的角是直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角，满足

面面角：平面，的夹角是两平面法向量所成的角，满足

向量空间是线性代数中的核心概念，从抽象角度定义了具有加法和数乘的基本结构。对于一个非空集合及其上配有的加法（向量加法）和数乘（数量乘法，数量取自一个域，一般取实数或复数）运算，称其为向量空间（或线性空间），如果满足：

1. 关于加法成交换群：即满足封闭性、交换律、结合律，存在加法单位元（即零向量），并且对任意元素存在加法逆元（即相反向量）；

2.关于数乘满足结合律和酉性：即对于任意的及，有，并且域中的单位元满足；

3.上的加法和数乘满足分配律：对于任意的及，有，。

欧式空间中的向量、方阵的集合、一些函数空间都是向量空间。

研究向量空间常用到的一些概念和性质如下。

线性相关性：称向量集合线性相关，如果存在不全为零的数量，使得

否则，称它们线性无关。

基与维数：向量空间中线性无关的向量集合，且任何向量均可表示为这些向量的线性组合时，称这个集合为向量空间的基。基的向量个数称为向量空间的维数。

对偶空间：令，并在其上定义加法和数乘

则构成了上的向量空间，称为的对偶空间。对于有限维向量空间，其对偶空间与之具有相同的维数。

给定向量空间的一组基后，任取，存在唯一的一组，使得，称这组为在基下的坐标。

设向量空间具有两组基和，其间有阶矩阵满足

则称为两组基之间的转换矩阵或者过渡矩阵。若在两组基下的坐标表示分别为和，则应有坐标变换公式：

向量空间的概念可以进一步拓展。

当抽象的向量空间中配备了范数，则称为“赋范空间”。

当抽象的向量空间中配备了内积，则称为“内积空间”。内积空间中可以定义角度。例如平方可积函数空间是重要的内积空间。

许多重要的数学定理都可以用向量的形式来表达或证明。

在中，设所对的边分别为，则有。

余弦定理可以用向量的方法证明：由，两侧平方可得

即

对于任意两个向量，，有，等号当且仅当向量，平行时取得。

在坐标形式下，令，是维向量，其坐标分别为，则有

对于任意两个向量，，有。其几何意义是，三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。

向量在非零向量上的投影是一个与共线的向量，其计算公式为：

投影向量的模长称作投影值，计算公式为：

其中是向量，的夹角。

高维欧式空间中的向量可以用n元实数组构成，拓展了集合直觉。距离、角度、线性变换等的概念可以直接由低维推广。

向量的模长公式为，其与向量的内积公式为。

高维向量的外积推广为外微分形式与外微分运算。

张量是对向量与对偶向量更一般化的归纳，是多指标的对象。

两个张量的距离可以向量化后，用欧氏距离求解；张量中有张量积、缩并等运算。

当向量的分量用复数表示时，向量的概念拓展为复向量。例如中的，其中。

复向量中的模长与内积定义与实向量略有不同。对于向量和向量，它们的内积为，其中表示的共轭。模长。

向量值函数：输入为一维变量，输出为向量的函数。例如空间曲线的参数方程可以用于描述三维空间中的运动轨迹。

向量场：输入与输出均为向量的函数。例如空间中的力场，电场。向量场是向量分析的核心概念，涉及散度、旋度等运算。

向量可以用于描述力、速度、加速度等物理量。这些物理量的运算遵循向量的规则，对一些物理现象的研究也离不开对应向量的分析。

向量分析中的符号可以用于表达麦克斯韦方程组，约束电场和磁场的行为。

向量广泛应用于应力、机械结构的分析与计算。复向量可应用于计算交流电路中的电流、电压变化规律。

向量可以用于数据挖掘和机器学习等：一系列的数据点可以表示为高维向量；多元回归分析的本质是找到一组参数使得拟合结果接近一系列的向量；支持向量机算法的本质就是找到超平面分离开两种类型的向量。向量和坐标变换被应用于计算机图形学技术中。