变换（transformation）指非空集合到自身的映射，若干一一变换在乘法运算下构成的群称为变换群。作为集合上的结构，变换群的研究始于映射的合成运算。凯莱提出的抽象群概念表明，任何群都同构于某个变换群。群G中元素的右乘变换将元素映成乘积，全体右乘变换构成的集合在乘法运算下形成变换群，该变换群与群G同构。伽罗瓦通过研究多项式方程根式解的条件，建立了域的自同构群与根的变换群之间的联系。凯莱提出了抽象群的概念，推动群论发展为独立数学分支。

集合到自身的映射称为变换。作为映射，两个变换可以相乘。一个集合的若干一一变换在这种乘法下组成的群称为变换群。

[transformation group]

人们对群的认识始于变换群。

伽罗瓦(E.Galois) 关于多项式方程的根式解的存在性判别法则就是通过研究域的自同构群（成上的变换群）以及根的集合上的变换群而得到的。因此人们通常把伽罗瓦看成群论的创始人。

凯莱(A.Cay le y) 提出了抽象群的概念，而后才有了对抽象群的研究。一个基本的事实是，任何一个群都同构于一个变换群。实际上，若G 为群而，则右乘变换，它把 映成乘积 ，就是集合G 上的一个变换。当 g 取遍 G 中所有的元素时，全体右乘变换 在变换的乘法下成为一个。它是集合G 上的变换群,而映射是群 G 到变换群 的同构。