反三角函数（InverseTrigonometric Functions）是基本三角函数的反函数，用于由已知三角函数值求解对应的角度（或弧度）。为解决三角函数周期性导致的非单射问题，其定义域和值域需经过严格限制，以确保函数单值、连续且存在反函数。主要类别包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）、反余切（arccot）、反正割（arcsec）和反余割（arccsc）六种函数。

反三角函数是一类基本初等函数。

由于三角函数的周期性，三角函数的反函数是多值的。通过限制定义域的方式，可以得到对应的单值的反函数。对于六类三角函数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，它们分别对应的反三角函数为：

反正弦函数,有时也记作;

反余弦函数,有时也记作;

反正切函数,有时也记作;

反余切函数,有时也记作;

反正割函数,有时也记作;

反余割函数,有时也记作。

后面记法中的-1意为“逆”,可能与取“倒数”产生混淆。之后将采用前面“arc”的记法来代表反三角函数。

将自变量的取值限制在上，那么正弦函数变为一个严格单调递增的函数，既是单射，又是满射；因此，其存在逆映射，即反正弦函数：

反正弦函数的定义域为,值域为。反正弦函数在定义域内严格单调递增。

由定义可知:

将自变量的取值限制在上，那么余弦函数变为一个严格单调递减的函数，既是单射，又是满射；因此，其存在逆映射，即反余弦函数：

反余弦函数的定义域为,值域为。反余弦函数在定义域内严格单调递减。

由定义可知:

将自变量的取值限制在上，那么正切函数变为一个严格单调递增的函数。既是单射，又是满射；因此，其存在逆映射，即反正切函数：

反正弦函数的定义域为,值域为。反正切函数在定义域内严格单调递增。

由定义可知:

对于余切函数、正割函数、余割函数，都可以重复前述相同的过程。

将自变量的取值限制在上，余切函数是双射，其逆映射即反余切函数：

反余切函数的定义域为,值域为。反正弦函数在定义域内严格单调递增。

函数满足:

将自变量的取值限制在上，正割函数是双射，其逆映射即反正割函数：

反正割函数的定义域为,值域为。反正割函数在和内严格单调递增。

函数满足:

将自变量的取值限制在上，余割函数是双射，其逆映射即反余割函数：

反正割函数的定义域为,值域为。反正割函数在和内严格单调递减。

函数满足:

对于任意可取值的,满足下列恒等式。

这些由余角的三角函数间关系导出的关系，被称为“第一类关系”。

证明：这是因为由诱导公式可知

由这些函数取值的范围验证后，可证明原式。

对于任意可取值的，满足下列恒等式。

类似地，由诱导公式，结合函数取值范围可证。

对于任意可取值的,满足下列恒等式。

这是由于三角函数的定义，有：

从而可以得到验证。

由同一变量的三角函数间的关系导出的反三角函数的关系，称为“第二类关系”。具体地说，对于可取值的:

上述公式可以利用三角函数之间的关系推导得到。

借此可以用一种反三角函数来表示另一种反三角函数。例如，由

可以得到

计算反三角函数的和或差的三角函数时, 可根据更为人熟知的角的和或差的三角函数关系, 而不必将所有繁杂的公式记得烂熟; 两个反三角函数的和或差可能的变化, 也并不限于同名反函数的和或差。

例如, 由两角和的正切公式

再令, 即可得: 对于, 即时

考虑所有可能的取值, 总结可验证得:

类似地, 也可以得到下面的关系式:

六类反三角函数的导数如下:

六类反三角函数的不定积分如下:

对于复数域中的三角函数，定义为

在复数域中研究反三角函数，对于，如，那么可得

解得，所以

类似地可以得到其它反三角函数作为复数的定义：

对于反余切、反正割、反余割函数，只需利用倒数关系即可得到。

用无穷级数来定义反三角函数为：

利用余角关系可以写出反余弦、反余切、反正割函数的无穷级数定义式。

例 1 由定义, 反三角函数可以由三角函数值倒推角度值。

对于某个角, 将三角函数值代入反三角函数, 即得其在值域范围内的角度值。

例如, 已知锐角的正弦值为, 那么该角为。

利用反三角函数的单调性, 可以由两角的同名三角函数值判别其大小。例如对于单调递增的反正弦函数, 可知 。

例 2 求下列式子的值:

解: 利用反正切函数的和的公式:

故原式的值为。

例 3 切比雪夫多项式:

可以证明定义在上的函数与某个次多项式相同。例如:

该多项式的理论是切比雪夫在研究“与函数的近似表示有关的最小量问题”时提出的。可以证明，在所有定义在上的最高次系数为一的n次多项式中，与零偏差最小的多项式恰为

例 4 反正切函数用于数据的归一化。在数据处理中，如果数值大小分化很大，需要使用一些函数来对原始数据进行计算。实数范围中的反正切函数可以将实数映射到有界区间，从而可以使用函数

来将样本数据归一化到的范围内。

例 5 信号处理：反三角函数可以用于处理实际场景中信号的处理，如船用雷达视频信号编码中，反三角函数可以将信号处理到对应扇区。