双曲线是圆锥曲线的一种，其定义是平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于两个定点的距离）的点的轨迹。这两个定点称为双曲线的焦点，它们的距离称为双曲线的焦距。

平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，它们的距离称为双曲线的焦距。

人们对于圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的研究从数千年前就已经开始了。古希腊数学家用几何方法研究圆锥曲线，写成了著作《圆锥曲线论》8卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有研究空间。

17世纪，法国数学家笛卡儿和费马等人创始了解析几何，为研究几何问题提供了新的方法：借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究。直到此时，圆锥曲线的研究才有了新进展。

解析几何这种使用坐标系的方法，使得将计算机应用到几何定理的证明中成为可能。然而当时条件有限，计算仅是使用手摇计算机进行手工操作，因此这一想法未能实现。20世纪以后，计算机的迅速发展使一些数学家又开始探讨几何定理证明机械化的可能性。中国数学家吴文俊在数学机械化领域做出了重要贡献，他提出的用计算机证明几何定理的“吴方法”被认为是自动推理领域的先驱性工作。

在平面直角坐标系中，设双曲线的焦距为 ，其焦点在轴上。点是双曲线上一点，它到两个焦点的距离之差的绝对值为，即

经过化简可以得到

其中，这个方程称为（焦点在轴上的）双曲线的标准方程。类似的，

可以表示焦点为（在轴上）的双曲线的标准方程，其中的意义同上。

形如（其中为非零常数）的函数称为反比例函数，其定义域为，它的图像也是双曲线。

以为例，此时该反比例函数的图像的方程为。引入坐标旋转变换 ，将坐标系绕原点逆时针旋转得到新坐标系，代入并化简即得该图像在新坐标系下的方程为

将其与标准方程比较，可知它表示的双曲线。所以反比例函数在时的图像为双曲线，焦点为。

同理可知当时图像也为双曲线，此时焦点为。

在平面直角坐标系中，由下面的二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线：

其中为常数，且不同时为零。它们取不同的值时，该方程可以表示椭圆（包含圆）、双曲线、抛物线等图形，它可看作圆锥曲线方程的更一般的形式。其中，该二次方程表示双曲线的充分必要条件是

因此可以看作双曲线的更一般的方程，容易验证上述标准方程和反比例函数的形式都满足这一条件。

对于标准方程为的双曲线，经过简单推导可将其转换为参数方程

这便是焦点在轴、中心在原点的双曲线的参数方程。

设双曲线的标准方程为，由此可得双曲线上的点的横纵坐标的取值范围分别为，说明该双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域。

同理可知，标准方程所表示的双曲线的范围应该是。

此外，这两个标准方程所表示的双曲线关于轴、轴和原点都是对称的，此时坐标轴是对称轴，原点是对称中心。双曲线的对称中心称为双曲线的中心。

在标准方程中令可得该双曲线与轴(对称轴)的交点坐标为，双曲线与其对称轴的两个交点称为双曲线的顶点。如果令，所得到的关于的方程无实数解，但也常把这两点画上。此时，线段分别称为双曲线的实轴和虚轴，它们的长度分别为，因此也分别称为实半轴长和虚半轴长。

对于双曲线，作出两条直线，可以发现并证明该双曲线的两支向外延伸时，与所作直线无限接近但永不相交。这两条直线称为双曲线的渐近线。特别地，当时，该双曲线的实轴和虚轴长度均为，这样的双曲线称为等轴双曲线。所以，反比例函数 的图像为等轴双曲线，坐标轴就是它的两条渐近线。

双曲线的焦距与实轴长之比称为离心率。由于在双曲线中有所以双曲线的离心率。此外，等轴双曲线的离心率为。

设是焦距为的双曲线上一点，它到焦点的距离为，到定直线的距离为计算二者的比值可以发现它恰好等于，也就是离心率，同理可计算它到焦点的距离与到定直线的距离之比也为离心率。事实上，直线称为该双曲线的准线，因此上述结论可以表述为：双曲线上任意一点到一个焦点的距离与到此焦点同侧的准线的距离之比等于该双曲线的离心率。

设双曲线的两个焦点为（下面几个经论也在此基础上讨论），是该双曲线上一点，则它到两焦点的距离由下式给出

该公式可根据双曲线的准线的性质，由点到准线的距离乘以离心率直接推导出。如果设，则当点在双曲线的左支上时有

在右支上时有

该公式可通过在中，根据双曲线的定义以及余弦定理，列出关于的方程组并求解得到。

设点是上述双曲线上一点，，则的面积为

该公式可通过在中，根据双曲线的定义以及余弦定理，将用表示出来，然后乘以得到。

设点是上述双曲线上一点，则该双曲线过点的切线方程为

该方程可根据二次曲线的一般理论中有关切线的结论直接导出。

设上述双曲线的两条互相垂直的切线相交于点，则点的轨迹是一个去掉四个点的圆，称为蒙日圆，又叫外准圆。

为证明这个结论，可设通过点的直线为，代入双曲线的方程可得关于的一元二次方程，若使该直线是切线则有其判别式为零，得到关于的一元二次方程，由于两条切线互相垂直所以它们的斜率之积为-1，即此方程的两根之积，再由根与系数的关系即可得到，它表示一个以原点为圆心半径为的圆。

需要注意的是，当点位于双曲线的渐近线上时，不存在两条通过它的切线，所以其轨迹实际上要去掉这个圆与渐近线的四个交点。此外，由上述方程可知只有当时这个圆才存在，所以要求该双曲线的离心率。

设是轴上不与原点重合的定点，过点的直线与上述双曲线交于两点，点是关于轴的对称点，则直线过定点。

设点是以点为焦点的双曲线上一点，则过点的切线平分。这个结论反映的是双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过该双曲线反射后， 反射光线就好像是从另一个焦点射出一样。

双曲线在建筑中有着广泛的应用，有很多工业设施和城市地标都可见双曲线的身影。

发电厂的冷却塔往往设计成下部大、腰部收细、上部又扩口的旋转双曲面型，它是由双曲线绕其（不经过焦点的）对称轴旋转一周形成的。这样形状的冷却塔具有对流快、散热效果好等优点，有利于水蒸气的冷却。

作为著名的城市地标建筑，位于法国巴黎的埃菲尔铁塔和位于中国广州的广州塔也都设计成双曲线形，它们体现了双曲线的视觉延展性。

已知A、B两地相距800m ，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，设炮弹爆炸点为P，那么由声速可取340m/s，有，所以可推断炮弹爆炸点在以A、B为焦点，实轴长为680m的双曲线靠近B地的一支上。再结合其它观测数据， 即可能确定炮弹爆炸点的位置。这就是利用声音时差进行定位的例子。

根据双曲线的准线的性质，可以给出双曲线的另一个等价的定义：平面内到定点的距离与到定直线（不过该定点）的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线，此时定点是双曲线的一个焦点，定直线是双曲线的一条准线，而常数就是双曲线的离心率。

如果这个比值，那么得到的点的轨迹就是另外一种图形——椭圆，此时也是椭圆的（一个）焦点、（一个）准线、离心率。椭圆的另外一个与双曲线相似的定义是平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹，此时两个定点称为焦点，它们的距离称为焦距。在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆的标准方程为

如果这个比值，得到的图形就是抛物线，此时分别称为抛物线的焦点和准线。在平面直角坐标系中，焦点在轴上、开口向右的抛物线的标准方程为

此外，可以证明，二次函数的图像的形状也是抛物线。与双曲线和椭圆不同的是，抛物线的离心率固定为1，所有的抛物线都是相似的（形状相同）。

双曲线、椭圆、抛物线，都可以由一个平面截两个对顶的圆锥得到，因而它们都称为圆锥曲线。