加权平均值（weighted mean），也叫加权平均数，是指在计算平均值时，不同的数据点具有不同的重要性或权重。在加权平均值中，每个数据点被乘以一个对应的权重值，然后计算加权总和，再除以所有权重的总和。

设有一个包含个数据点（或数值）的集合，其中（通常是实数，但也可以是向量等）。 同时，设有一个对应的包含个非负权重（non-negative weights）的集合，其中，，且，以确保分母不为零。集合 X 的加权平均值（通常表示为或）定义为：

展开形式为：

其中：

如果权重已经被归一化，使得它们的和为1，即（其中），那么加权平均值的公式可以简化为：

在这种情况下，每个权重可以被解释为数据点所占的比例或概率。

加权平均值是一种反映现实世界复杂性的重要工具。其核心意义在于承认并量化不同数据点具有不同的“重要性”或“影响力”，从而得到一个更具代表性、更公平或更符合特定目标的“平均”结果。

当数据点代表的“量”不同时，算术平均值会产生误导。加权平均值通过权重来调整每个数据点的贡献，使其与其实际代表的规模相匹配。

例如，假设投资了 10000 元在股票 A（回报率 10%）和 1000 元在股票 B（回报率 50%）。如用简单平均回报率得到(10% + 50%) / 2 = 30%，但这显然没有反映你大部分资金只获得了 10%回报的事实。加权平均值使用投资金额作为权重：(10000 * 10% + 1000 * 50%) /(10000 + 1000) = (1000 + 500) / 11000 ≈ 13.64%。这个结果更真实地反映了你的整体投资表现。

在某些情况下，即使数据点代表的基础规模相同，它们本身的重要性也不同。权重可以用来表达这种主观或客观的优先级差异。

例如计算综合成绩时，期末考试通常比期中测验或平时作业更重要。假设期末占 50%，期中占 30%，作业占 20%。你的分数分别是85（期末）、90（期中）、95（作业）。最终成绩不应该是 (85+90+95)/3 = 90。加权平均成绩是：(0.50 * 85 + 0.30* 90 + 0.20 * 95) / (0.50 + 0.30 + 0.20) = (42.5 + 27 + 19) / 1 = 88.5 分。权重反映了不同考核部分的“含金量”。

许多自然和社会现象本身就具有加权的特性。

例如，质心 (Center ofMass)是一个物体的质心是其各组成部分位置的加权平均值，权重是各部分的质量。质量越大的部分，对质心的“拉动”作用越大。

物价指数 (Price Index, 如 CPI)是计算通货膨胀率时，不同商品和服务的价格变动对整体生活成本的影响是不同的。在 CPI 中，食品、住房等占比较大的项目会有更高的权重，它们的价格变动对指数的影响远大于占比较小的项目（如娱乐）。

假设以下是小明某科的考试成绩：

学校规定的学科综合成绩的计算方式是：

（注：在这里，每个成绩所占的比重叫做权重）

那么，加权平均值（综合成绩）

现有以下两只股票：

（注：在这里，股票占总股数的比重叫做权重）

那么，加权平均值（所有拥有股票的平均价格）

权重的选择对加权平均值的结果至关重要。不同的权重分配方法反映了对各项数据重要性程度的不同判断。常见的权重确定方法可以分为主观赋权法、客观赋权法和特殊赋权法。

主观赋权法主要依赖于决策者或专家的经验和判断来确定各项指标的权重。这种方法相对简单，但也容易受到主观因素的影响。

客观赋权法主要依据各项指标数据的自身特性或数据间的关系来确定权重，排除了人为的主观因素，具有较强的客观性。

这类方法可能结合了主观和客观的因素，或者针对特定问题设计。

在使用加权平均值时，需要注意以下几点，以确保结果的准确性和合理性。

在计算加权平均值之前，应仔细检查原始数据，剔除那些明显错误、不完整或不相关的无效数据。

对于异常值（与大部分数据显著不同的数值），需要判断其产生的原因。如果是错误数据则应剔除；如果是真实但极端的情况，可以考虑是否将其纳入计算，或者使用对异常值不敏感的统计方法。未加处理的异常值可能会对加权平均结果产生不成比例的影响。

主观赋权法（如专家评估法）的结果高度依赖于评价者的知识、经验和偏好。如果评价者存在认知偏差或个人倾向，可能会导致权重设置不合理，从而影响最终结果的客观性和公正性。为减少偏差，可以邀请多位不同背景的专家参与，或采用匿名方式进行评估，并对结果进行一致性检验。

通常情况下，所有权重之和应等于 1 (或100%)。这确保了各项数据的重要性在整体中得到合理的分配。如果原始权重之和不为 1，需要进行归一化处理，即将每个原始权重除以所有原始权重之和，得到新的归一化权重。例如，若有三个指标的原始权重分别为 w1, w2, w3，则归一化后的权重为：

未进行归一化可能会导致加权平均值的结果超出合理范围或失去其比较意义。

加权平均值在众多领域都有着广泛的应用，它通过为不同数据点赋予不同的重要性（即权重），能够更准确地反映实际情况或达到特定的衡量目的。以下列举了其在教育评价、经济与金融、工程与科学以及社会科学等领域的典型应用：

在教育评价体系中，加权平均值常用于计算学生的综合成绩，以更全面地衡量其学习表现。一门课程的总评成绩通常由多个部分组成，例如平时作业、期中考试、期末考试、课堂参与等。为了反映不同部分对于最终学习成果的重要性差异，教师会为每个部分设定不同的权重。例如，某课程规定平时成绩占总成绩的30%，期末考试成绩占70%。那么，学生的总评成绩计算公式为：

总评成绩=(平时成绩×0.30)+(期末考试成绩×0.70)

这种方法能够激励学生在整个学习过程中保持努力，并确保最终成绩能更准确地反映其整体学术水平。

加权平均值在经济和金融领域扮演着至关重要的角色，用于构建重要指数和衡量经济指标。

股票指数=∑流通股市值/∑(股票价格×流通股市值)

通过这种方式，指数能够更灵敏地反映市场主流股票的整体动态。

CPI=∑(基期商品价格×消费支出权重)/∑(当期商品价格×消费支出权重)×100

这种加权方式使得CPI能够更准确地反映普通家庭的生活成本变化。

在工程与科学研究中，加权平均值常用于处理和分析实验数据，以提高结果的准确性和可靠性。

融合数据=(传感器A读数×wA)+(传感器B读数×wB)

这种方法能够有效地减小随机误差对最终结果的影响，提高测量结果的精确度。

在社会科学研究中，尤其是在处理调查数据时，加权平均值能够帮助研究者更准确地反映不同群体的意见或不同因素的重要性。

在问卷调查中，不同的问题可能具有不同的重要性程度，或者样本中不同特征的受访者（如年龄、性别、地区分布）在总体中所占的比例可能与样本比例不一致。为了使调查结果更具代表性或更能反映研究的核心议题，研究者可能会对不同问题或不同受访者的回答进行加权处理。例如，在计算一个综合满意度指数时，对于一些核心问题的满意度赋予更高的权重。或者，当样本中某一群体比例偏低时，可以适当增加该群体回答的权重，以使其结果能更好地推断总体情况。加权后的平均得分计算方式为：

加权平均得分= ∑(问题得分i×重要性权重i)/∑重要性权重i

或

加权平均得分=∑(个体得分j×样本代表性权重j)

通过这种方式，可以使分析结果更加客观和有针对性。

标准的算术平均值（Arithmetic Mean）是加权平均值的一个特例。当所有权重都相等时（例如，令对所有都成立），加权平均值的公式变为：

这正是算术平均值的定义。

加权几何平均值 (Weighted Geometric Mean, WGM) 是一种计算一组数值中心趋势的方法。与加权算术平均值（对数值本身加权求和）不同，加权几何平均值是对数值的乘积进行加权处理。

计算加权几何平均值的步骤为：

公式为：

加权调和平均值 (Weighted Harmonic Mean) 是一种计算平均值的方法，常见于计算平均速率 (average rates) 或比率 (ratios)，它计算的是数据倒数的加权算术平均值的倒数。

对于一组正数数据 （通常是速率或比率）和对应的非负权重 （权重之和大于0），加权调和平均值定义为：

简单例子： 假设某人开车，前 10 公里速度为 60 km/h，后20 公里速度为 80 km/h。求全程平均速度？

这里，速率是。权重是对应的距离。 平均速度（加权调和平均值）= km/h。

假设一个离散随机变量可以取值为，它们对应的概率分别为。那么的期望值定义为：

即：

期望值本质上就是一种特殊的加权平均值，其中权重就是对应结果发生的概率。具体地说：