分数是数学中表示整体等分后部分量的数值，形式为a/b（a，b为整数且b≠0），分子分母分别对应除法运算中的被除数与除数。分数是有理数的基本表现形式，是构成有理数域的基础。在实际应用中，分数广泛用于比例、概率、物理量等场景，且与小数（有限小数和循环小数可转化为分数）、百分数（分母为 100 的特殊分数）通过分母幂次关系实现数值转化（如1/5=0.2=20%）。其历史可追溯至古埃及的单位分数应用，中国《九章算术》最早系统记载运算法则，经印度与阿拉伯学者完善符号体系，最终形成现代通用的分数表示形式。

分 数 ( 英 语 : fraction) 是 用 分 式 ( 分 数 式 ) 表 达 成的 数 。 其中整数a称为分子，非零整数b称为分母。

一个分数通常由三部分组成：分子、分母和分数线。

例如，在分数中，3 是分子，4 是分母，横线是分数线。它表示将一个整体平均分成 4 份，取其中的 3 份。

分数单位是表示一个整体被平均分成若干等份后，每一等份的大小。对于任意一个分数(其中为不为零的整数),即为该分数所对应的分数单位。任何一个分数都可以看作是由若干个分数单位组成的。

例如，分数的分数单位是,它可以理解为有 3个组成。分数的分数单位是,它由 5 个组成。分数单位是理解分数大小和进行分数运算的基础。

分数可以通过几何图形或数轴进行直观表示，也可通过代数形式进行抽象表达。

注：在初等数学的教材中，真分数、假分数都在正数范畴内考虑，以确保分子与分母的大小关系直接对应分数值的范围（0到1或≥1），避免因负号引入绝对值导致的分类歧义。

真分数(proper fraction)是指分子小于分母的分数。

例如：, , 均为真分数。

真分数的值总是小于1。在数轴上，真分数位于0和1之间。真分数表示的是一个整体的一部分，且这部分小于完整的整体。

假分数(improper fraction)是指分子大于或等于分母的分数。

例如：, , 均为假分数。

假分数的绝对值总是大于或等于1。当分子等于分母时，假分数的绝对值等于1。假分数可以表示一个或多个完整的整体，以及可能多余的零散部分。

带分数(mixed fraction)是由一个整数和一个真分数组成的数。带分数是假分数的另一种表示形式。

例如：, 均为带分数。

带分数和假分数可以相互转换。

将带分数转换为假分数的方法是：整数部分乘以分母，然后加上分子，结果作为新分子，分母不变。例如，。

将假分数转换为带分数的方法是：分子除以分母，所得的商是带分数的整数部分，余数是新分子，分母不变。例如，。

最简分数/既约分数 (Simplest Form/ Irreducible Fraction) 是指分子和分母除了1以外没有其他公因数的分数，即分子和分母互质。

例如：,,均为最简分数。

任何一个分数都可以通过约分化为最简分数。一个有理数在数轴上的表示是唯一的， 其对应的最简分数形式也是唯一的。将分数化为最简分数是分数运算中一个重要的步骤。

繁分数 (Complex Fraction) 是指分子、分母或两者都含有分数的分数。

例如：,,均为繁分数。

繁分数本质上是分数除法的一种表现形式，可以通过将分子除以分母的方式进行化简。例如，。繁分数的化简是分数混合运算中常见的一种情况。

连分数(Continued Fraction)是一种特殊的分数形式，它表示为一个整数加上一个分数的倒数，而这个分数的倒数又包含一个整数加上另一个分数的倒数，如此反复。例如，一个简单的有限连分数可以表示为：。

连分数可以用于表示有理数或无理数，特别是在逼近无理数时显示出其独特优势。它们在数论、近似计算和算法等领域有广泛应用。连分数可以是有限的，也可以是无限的。

分数的基本性质是指：分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数，分数的大小不变。这一性质是分数约分、扩分和通分的理论依据。

用代数形式表示，对于任意分数(其中)和任意非零数,有：

(扩分)

(约分)

例如，分数,分子和分母同乘以2,得到,尽管形式不同，但它们表示的数值大小相同。同样，分数,分子和分母同除以 2,得到, 两者数值相等。

一个分数可以被理解为分子除以分母的商。即：对于任意整数和非零整数,分数表示的结果。这种关系使得分数成为表示两个数之间比率或分配结果的有效工具。

例如，当 3 个苹果平均分给 4 个人时，每个人分到的苹果数量是个。

分数与比是表示数量关系的两种不同但相互关联的数学形式。比表示两个或多个数量之间的倍数关系，通常写成的形式，其中是前项，是后项。比值则是比的前项除以后项所得的商，这个商通常可以用分数形式表示。

因此，分数也可以看作是与的比值。在这种情况下，分子对应比的前项分母对应比的后项。

例如，如果一个班级男生人数与女生人数之比为 2:3,则男生人数是女生人数的这里的就是男生人数与女生人数的比值。分数能够直观地表达这种“部分与整体” 或“部分与部分”的比例关系。

约分和扩分是分数运算中用于简化分数形式或为其他运算(如加减)做准备的重要步骤。它们都基于分数的基本性质。

约分 (Simplification / Reduction) 是指将一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，使其简化为最简分数的过程。当分子和分母互质(即它们的最大公因数是 1)时，该分数已是其最简形式，无法再约分。

约分的目的是使分数表达更简洁，便于理解和进一步计算。

例如：将分数约分。12 和 18 的公因数有 2、3、6。选择它们的最大公因数 6

进行约分：

此时，分子2和分母3的最大公因数是1，因此是最简分数。

扩分 (Expansion) 是指将一个分数的分子和分母同时乘以一个不为零的整数，从而得到一个与原分数大小相等但分子和分母均增大的分数。扩分常用于将不同分母的分数转化为同分母分数，以便进行加减运算。

例如：将分数扩分，使其分母变为 6。

这里，分子和分母都乘以了 3。扩分过程是约分的逆运算。

通分 (Common Denominator) 是指根据分数的基本性质，将几个异分母分数分别转化为与原分数大小相等、但具有相同分母的分数。这个共同的分母通常选择原分母的最小公倍数，称为最小公分母。

通分是异分母分数进行加法和减法运算的必要步骤。

例如：对分数和进行通分。

首先找出3和4的最小公倍数，即12。

然后，将扩分为分母是12的分数：

接着，将扩分为分母是12的分数：

现在，和都已通分为和。

例如:

例如:

例如: 计算。

首先通分，2和3的最小公倍数是6。

, 。

所以, 。

分数乘法运算的规则是: 分子与分子相乘的积作为新分数的分子，分母与分母相乘的积作为新分数的分母。在计算前，可以先约分，以简化计算。

用代数形式表示: （其中）。

例如: 计算。

如果存在可约分的项，例如，可以在相乘前先进行约分。

分数除法运算的规则是：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。

用代数形式表示：（其中）。

例如：计算。

将结果约分化为最简分数：。

倒数 (Reciprocal) 是指两个数相乘的积为 1，则称这两个数互为倒数。

对于一个非零分数，其倒数是。

例如：的倒数是，因为。

整数的倒数可以看作是分子为 1，分母为该整数的分数。例如，5的倒数是。

需要注意的是，0没有倒数，因为任何数与 0 相乘的积都为 0，不为 1。

分数的混合运算遵循与整数混合运算相同的优先级规则：

1. 有括号的先算括号里面的。

2. 同级运算（加减、乘除）从左往右依次计算。

3. 不同级运算，先乘除后加减。

在进行分数混合运算时，约分和通分是常见的辅助步骤，有助于简化计算过程。

例如：计算。

按照先乘后加的规则：

首先计算乘法部分：。

然后计算加法部分：。

通分：2和6的最小公倍数是6。。

最后相加：。

比较分数大小的方法有多种：

1. 同分母分数比较：分母相同时，分子大的分数大。

例如：比较和，因为3>2，所以。

2. 同分子分数比较：分子相同时，分母小的分数大。

例如：比较和，因为2<3，所以。

3. 异分母异分子分数比较：

○ 通分法：将分数通分，化为同分母分数后再比较分子。这是最常用的方法。

例如：比较和。3和4的最小公倍数是12。

，。

因为，所以。

○ 化小数法：将分数转化为小数，再比较小数的大小。

例如：比较和。

，。

因为，所以。

○ 交叉相乘法：对于两个分数和，比较和的大小。如果，则；如果，则；如果，则。此方法基于分数的基本性质，等价于通分比较。

例如：比较和。

计算和。

因为，所以。

分数可以与其他常见的数制（如小数、百分数和整数）进行相互转换，以便于在不同场景下进行表达和计算。

例如：将化为小数，。

例如：将化为小数，（循环小数）。

注：分数可以化为有限小数或无限循环小数。

1. 有限小数: 根据小数的位数, 将其写成分母为 10、100、1000 等的形式, 然后约分。

例如: 将 0.25 化为分数。0.25 是两位小数, 所以分母是 100。

例如: 将 1.2 化为分数。

或。

2. 无限循环小数: 通常需要通过代数方法求解。将循环小数设为未知数, 然后通过适当的乘法和减法, 消除循环部分, 得到一个方程, 解出未知数。

例如: 将化为分数。

设 (1)

(2)

用 (2) 减去 (1):

。

例如: 将化为百分数。

。

例如: 将化为百分数。

。

例如: 将 75% 化为分数。

。

例如：将120%化为分数。

或

例如：。

这种转换在进行整数与分数混合运算时非常有用，可以将整数视为分数，从而统一运算规则。

例如：将化为整数。

。

这种情况是分数表示的除法运算结果恰好是一个整数。

分数作为数学中的基本概念，在多个领域具有广泛的应用，不仅是理论计算的工具，更是描述和解决实际问题的有效方式。

分数在日常生活中随处可见，用于表示数量的一部分、比例、时间、折扣等。例如， 在烹饪中，食谱常以分数形式注明食材的用量，如“半杯面粉”或“四分之一茶匙盐”。在衡量布料、木材或其他材料时，分数也用于表示长度或面积的非整部分， 如“一又二分之一米”。购物时的折扣，如“八折”或“半价”,其本质也是分数的应用，分别代表原价的和。此外，时间的表达也常使用分数，例如“刻钟” (四分之一小时)或“半小时”。

在科学和技术领域，分数是表达精确测量值、比例和关系的重要工具。在物理学中， 密度、速度、加速度等物理量常通过分数形式的公式进行计算和表示，如速度。在化学中，溶液的浓度、化合物的摩尔比等均涉及分数运算。工程设计中，分数用于描述零件的比例、图纸的缩放比例尺以及材料的强度比等。例如，电阻串联或并联电路中的总电阻计算，常涉及分数或倒数。

概率是数学中用分数来量化事件发生可能性的一个典型应用。一个事件的概率通常表示为有利结果数与所有可能结果数之比，即分数形式。例如，抛掷一枚均匀硬币， 正面朝上的概率是。在统计学中，频率、相对频率、样本比例等也常以分数或分数转化而来的白分数形式呈现，用于描述数据分布和趋势。这使得对不确定性现象的分析和预测成为可能。

分数不仅用于计算物理量，也常直接用于表示物理量本身，尤其当这些量是非整数或表示部分与整体关系时。例如，在表示体积时，可以说“升水”;在表示质量时，可以是“公斤”。此外，在描述材料的成分配比、溶液的浓度(如质量分数、 体积分数)时，分数提供了精确而直观的表达方式。

中国古代数学在分数方面取得了显著成就，发展出独特的分数理论和运算方法。在公元前 3 世纪的《考工记》中，出现“十分寸之一为一枚”,意为“寸为一分。早在《九章算术》中，就系统地阐述了分数的概念、通分、约分、加减乘除以及分数与整数的转化等运算规则，并给出了分数的计算题。如其第五题：“今有十八分之十二，问约之得几何？”

早在公元前 3000 年左右的古埃及和古巴比伦文明中，就出现了分数的早期形式。根据古埃及《莱茵德纸草书》记载，古埃及人主要使用单位分数(分子为 1 的分数),例如他们用符号表示、等，并通过单位分数的和来表示其他分数。古巴比伦人则在他们的六十进制计数系统中使用了分母是 60 的倍数的分数，这使得他们的分数运算相对复杂，但系统性较强。

在12世纪阿拉伯数学家阿尔-哈萨尔（Al-Hassār）的著作中，明确使用了分数线，使分数的表示更加清晰。13世纪意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他的著作《算盘书》（Liber Abaci）中将这种记法引入欧洲，极大地推动了现代分数体系在西方的普及。

随着印刷术的普及和数学交流的增加，印度-阿拉伯数字和带有分数线的记法逐渐成为国际标准。16世纪，荷兰数学家西蒙·斯蒂文（Simon Stevin）《论小数》一书中对小数的推广，使得分数和小数之间的转换更加便捷，进一步完善了实数系统。

分数具有特定的中文和英文术语及读法，反映了其在不同语言文化中的表达习惯。

在中文中，分数的读法通常遵循“分母之分子”的顺序。例如，读作“二分之一”，读作“四分之三”。当分数是带分数时，先读整数部分，再读分数部分。例如，读作“一又二分之一”。对于繁分数，则按照其所代表的除法关系进行读取，例如可读作“二分之一除以三”。

英文中分数的读法通常是将分子读作基数词（Cardinal Number），分母读作序数词（Ordinal Number），并以连字符连接。当分子大于1时，分母的序数词需要变为复数形式。

例如：

分数是数学数系中的一个基础组成部分，与有理数、比和百分数等概念密切相关。

有理数(Rational Numbers)指可表示为两个整数之比的数，即形如(a 为整数， b为非零整数)的数集。所有整数可视为分母为1 的特殊分数(如),有限小数与无限循环小数也可通过分数形式精确表达(如,）。分数是有理数的核心表现形式，有理数集在数轴上具有稠密性，即任意两个有理数之间存在无穷多个有理数。

与分数相对，无理数(Irrational Numbers)指无法表示为两个整数之比的实数，

其小数形式为无限不循环小数(如)。无理数的存在拓展」数糸范畴，与有理数共同构成实数集。二者本贞凶别在十：分数(有理数) 可通过整数比精确表示，而无理数无法用分数形式完全刻画。

代数分数(Algebraic Fraction)是分数概念在代数领域的拓展，指分子、分母为代数表达式(如多项式)的分式，形式为(其中、为整式，且)。例如、等。代数分数遵循与数值分数类似的运算法则(约分、通分、四则运算),但其化简需结合因式分解、分式方程等代数方法，是代数运算和函数分析的重要工具。

比 (Ratio) 是表示两个或多个数量之间倍数关系的数学概念，通常写成或。分数是比值的一种表现形式，即比的前项除以后项所得的商。例如，如果男生人数与女生人数之比为 2:3,则比值是。

比例 (Proportion)则是指两个比相等的关系，例如或。比例在解决实际问题，如放大缩小、按比例分配等场景中具有广泛应用，它通过分数的相等性来表达数量之间的等价关系。

百分数 (Percentage)是一种特殊形式的分数，其分母固定为 100。它通常表示为带百分号（%）的数字。例如，25% 表示。百分数常用于表示比例、增长率、折扣等，便于比较和理解。

千分数（Permille / Per Mil）同样是一种特殊分数，其分母固定为 1000。它表示为带

千分号（‰）的数字。例如，5‰ 表示。千分数在表示小比例时，如盐度、酒精含量等，比百分数更为精确。