二阶偏微分方程是数学中研究多个自变量函数关系的重要工具，其分类方法基于微分算子的数学特性。根据主系数矩阵特征值分析方法，可将其划分为抛物型（任一特征值为零）、椭圆型（全非零同号）和双曲型（仅一个异号）。Fourier分析方法通过微分算子的频域转换实现等效分类，该方法将方程转换为代数形式进行判定。在流体力学领域，Navier-Stokes方程等含二阶导数的方程组可通过引入中间变量转化为一阶方程组进行类型分析。

根据2020年12月的数学分类标准，二阶偏微分方程的主系数矩阵特征值决定其类型：

该分类法通过对微分算子进行矩阵特征分解，建立方程类型与特征值符号分布的对应关系。主系数矩阵的秩缺陷情况直接影响方程解的稳定性特征。

采用符号法原理，通过微分算子的Fourier变换实现频域分析：$$$$将原微分方程转换为代数方程后，其频域表达式的二次型特征与特征分类法结果完全等效。这种方法尤其适用于非定常问题的模式分解，能够有效区分方程在相位空间中的传播特性。

在Navier-Stokes方程研究中，针对含二阶导数的粘性项处理时，常引入涡量-流函数法进行降阶：

该方法在计算流体力学中得到广泛应用，为复杂流动问题的数值求解提供了理论基础。