一元二次方程求根公式是数学领域用于求解一元二次方程的重要工具。求根公式通过方程中各项系数，能够快速准确地计算出方程的两个根。推导该公式常用配方法或因式分解法，它是解决一元二次方程问题的核心方法之一。在数学研究、物理计算、工程设计等诸多实际场景中，一元二次方程求根公式都发挥着重要作用，帮助人们解决大量与二次函数、曲线运动、结构分析等相关的实际问题。

一元二次方程是指形如()的代数方程，其中：

之所以称为“一元”,是因为方程中只有一个未知数 x;称为“二次”,是因为未知数 x 的最高次数为 2。这种形式是二次方程的标准形式，广泛应用于数学和相关领域中。

对于一元二次方程,其求根公式为：

求根公式是解决一元二次方程的核心工具，能够直接计算出方程的解。

判别式在一元二次方程的求解中具有重要意义，它决定了方程根的性质：“

判别式不仅能判断根是否存在，还能揭示根的个数和类型，是分析二次方程的重要指标。

一元二次方程的求解可以追溯到公元前1800年左右的古巴比伦。巴比伦人将二次方程应用于实际问题，如税收计算和土地测量。

公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得在其《几何原本》第二卷中提出了几何方法求解二次方程，通过构建几何图形表示方程并求解长度，为代数发展奠定了基础。

在印度，婆罗摩笈多（598-665年）在其《婆罗摩真经》中改进了巴比伦方法，允许负数并使用未知数缩写，承认二次方程有两个根，包括负根。9世纪，施里德哈勒（Śrīdhara）提出了一种求解二次方程的公式，形如现代求根公式，其方法在现已失传的代数著作中被后来的数学家如巴斯迦罗二世引用。在印度，该公式常被称为“Śrīdhara公式”。

9世纪，伊斯兰数学家花拉子米在其《代数》中系统化了二次方程的解法，将其分为不同类型并提供几何证明，其“完成”方法即配方法。这部著作是代数的奠基之作。

二次方程知识通过阿拉伯学者的著作传入欧洲。1145年，亚伯拉罕·巴·希亚的《测量书》首次将完整的二次方程解法引入欧洲，促进了阿拉伯数学在拉丁世界的传播。此后，求根公式成为代数教育和应用的基石。

可以使用配方法，通过将二次方程转化为完全平方形式来推导求根公式。以下是详细步骤：

1. 起始方程:

2. 移项: 将常数项移到等号右边:

3. 除以系数 a: 两边同时除以 a(a ≠ 0), 简化方程:

4. 配方: 在方程两边同时加上, 使左边成为完全平方形式:

5. 化简左边: 左边可写为:

右边计算:

通分:

于是:

6. 两边取平方根:

7. 简化根式: 因为, 所以:但在标准形式中, 直接写为:

(注: 分母取2a而非2|a|, 因为±已包含符号变化, 且a的正负不影响结果。)

8. 解出 x : 合并：

通过配方法，成功推导出求根公式。

在一元二次方程中，判别式（）用于判断方程根的性质，详见“判别式与根的性质”一节。

对于一元二次方程，设方程有两个不等实根和，韦达定理描述了根与系数的关系：

两根之和：

两根之积：

韦达定理在一元二次方程的场景中具有如下应用：

求根公式是解一元二次方程的标准方法。解题步骤如下：

1. 确定系数、、。

2. 计算判别式。

3. 根据判断根的性质并代入公式计算。

示例：解。

一元二次方程的根对应二次函数的图像与 x轴的交点。

示例：,判别式,图像与x轴交于(1,0)和 (-3,0)。