自然常数是一个数学常数，其数值约为2.71828。它在实数域中，是一个无限不循环小数，且是一个超越数。它以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)的名字命名。它也可以被称为纳皮尔常数，以纪念英国数学家约翰·纳皮尔(John Napier)引进对数。

自然对数是以自然常数为底数的对数，记作。其中自然常数的定义是

自然常数的数值。

另一种定义

证法1

令，已知

则已知收敛于，即

即

所以，，不妨设，则有

即，有

又易知对固定的和 ，有

所以，对此给定，当 时，有

即，当 时，有，即

即

证毕.

注：由该证法可以看出，对任意正数序列，若存在一个收敛数列，使得

则收敛，且极限为

证法2

欲证，即要证

另一方面，又有

则有

故有

证毕。

在1690年，莱布尼茨在信中第一次提到常数e。在论文中第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔（John Napier）于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但他没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德（William Oughtred ）制作。第一次把e看为常数的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。欧拉也听说了这一常数，所以在27岁时，用发表论文的方式将e“保送”到微积分。

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的原因不明，但可能因为e是“指数”（exponential）一词的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，e则是第一个可用字母。还有一种可能是，字母“e”是指欧拉的名字“Euler”的首字母。

以e为底的指数函数的重要方面在于它的函数与其导数相等。e是无理数和超越数（见林德曼-魏尔斯特拉斯定理，Lindemann-Weierstrass）。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。

自然常数的指数函数的导数是

可以根据自然常数的定义(1)和导数的定义来推导这个关系

令，那么

可以进一步得到指数函数的导数

自然对数的导数是

下面将证明这个关系

进一步可以得到对数函数的导数

可以用定积分来定义的自然对数

自然指数函数的不定积分是

以下是涉及自然常数的不定积分表

由均值不等式，有

即序列单调上升；一方面，尝试证明。即要证，由均值不等式得

又明显有，

另一方面，尝试证明

由于

所以

两边分别取倒数得

指数函数可以展开成泰勒级数

这个级数对于复数域每个都是收敛的。且如果指数上是矩阵，那么表达式的定义可以由(34)推广得到

对于任意的自变量，都可以在附近对自然对数函数进行泰勒展开

对于任意的实数，可以利用反双曲正切函数对自然对数函数进行展开

根据泰勒展开(34)，可以推导出欧拉公式

这是因为三角函数的泰勒展开是

的泰勒展开是

根据欧拉公式(38)，可以得到欧拉恒等式

欧拉恒等式将五个重要的数学常数联系在一起。

三角函数经常用欧拉公式写成指数函数相加的形式

泰勒公式展开

已知函数f(x)=x存在任意阶的导数。将其在点0处进行泰勒展开，有

取Peano形式的余项

令上式，有

故有

即得

由此就可根据上式求解出的具体数值

限制精度

但是在应用中需要的是的具有某位精度的数值，比如说要求的小数点前2000位的准确数值。此时Peano余项不够用了。换一个余项，例如——Lagrange余项：

其中。将与代入，得

所以

故只要令，求解出满足这个不等式的任意一个n，然后按照这个n计算

便得的小数点后t位的准确数值。

更快的方法是通过两个递归函数得到自然常数的值。定义两个递归函数

其中。可以迭代计算表达式来得到的近似值。这种方法使用了二进制拆分来计算,与快速傅里叶变换的方法结合，可以很快地得到。

一个赌徒玩老虎机，每次都有获胜的机会。假设赌徒玩了次，那么他获胜次的概率是

赌徒一次都没有获胜的概率是，当时，那么一次都没有获胜的概率趋于。

一维正态分布的表达式是

正态分布的均值和方差分别是。正态分布是最常用的概率分布之一。中心极限定理指出，随着样本数量的增加，具有确定均值和方差的随机变量趋近于正态分布。

自然常数通常与渐进问题有关。一个常见的例子是斯特林公式